「ピタゴラスの定理」の別証明集

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

No.1 : Euclid  2001.03.15

証明は「ユークリッド原論」第１巻定理４７及び定理４８を参照

この証明が一番流布している、オーソドックスなもので別格あつかいです。

No.2 :

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

下の図１は、直角三角形ＡＢＣの４倍とｃ²とで一つの正方形を作っている。それを図２のように、直角三角形を動かすと、直角三角形四つとおよびで同じ正方形になる。それゆえととは等しくなる。

これを代数的に考えると、

大きな正方形の一辺は、である。直角三角形の面積はである。よって図１において

　ｃ²＋２ａｂ＝（ａ＋ｂ）²

この式を整理すると、下のようになる。

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

 

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Ｎｏ.3：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

図１の大きな正方形は右のように組みかえると、図２のような二つの正方形およびの和となる。

これを代数的に考えると、図１で

∠ＣＡＢ＝ＦＢＤ、∠ＣＢＡ＝∠ＦＤＢ、ＡＢ＝ＢＤ

よって、二辺とその間の角が、それぞれ等しいため

　�凾bＡＢ≡�凾eＢＤ

同様にすると

四つの直角三角形は合同である。

ゆえに

　　ｃ²＝２ａｂ＋（ｂ−ａ）²

図１を移動して出来た図２を考えると

　　ａ²＋ｂ²

よって

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

  

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Ｎｏ.４：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

図１で

ＢＣ＝ＦＥ＝ａ、ＡＣ＝ｂ、ＡＢ＝ｃとし、図１のように１から５を定めると

 

１＋２＋５＝□ＦＥＤＫ＋□ＨＤＣＡ＝　ａ²＋ｂ²

�凾eＥＢを�凾eＫＧの位置に、�凾`ＢＣを�凾`ＧＨの位置に動かすと

３＋４＋５＝□ＧＦＢＡ＝　ｃ²

よって

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

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Ｎｏ.5：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣおよび、それぞれの辺上に正方形を作り、正方形の辺を延長して、図１を作る。

ＡＣ＝ＣＦ，ＣＢ＝ＦＬ、∠ＡＣＢ＝∠ＣＦＬ

よって、二辺とその間の角がそれぞれ等しいため

�凾`ＢC≡�凾bＬＦ
　∴ＡＢ＝ＬＣ

�凾kＦＣを、ＬＭ上を滑らせ、�凾fＭＡにくっつけると、一つの三角形ができ

　ＬＣ＝ＡＤ、∠ＣＬＭ＝∠ＤＡＰ、∠ＬＣＭ＝∠ＡＤＰ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　�凾kＣＭ≡�凾`ＤＰ

　∴�凾kＦＣ＋�凾fＭＡ＝�凾`ＰＤ・・・・・�@

同様にすると

　　�凾kＣＫ＋�凾gＢＮ＝�凾aＥＱ・・・・・�A

�@    より

ＬＦ＋ＧＭ＝ＡＰ、ＦＧ＝ＣＡであるため、ＬＭ＝ＣＰ

�A    も同様にすると

ＬＮ＝ＣＱ，

また、∠ＭＬＮ＝∠ＰＣＱであるため

二辺とその間の角がそれぞれ等しいため

　�凾kＭＮ≡�凾bＰＱ

この�凾kＭＮと�凾bＰＱから�@�Aの等しい部分を引き去り、共通部分である�凾`ＢＣを引き去ると

□    ＢＨＫＣ＋□ＣＦＧＡ＝□ＡＤＥＢ

すなわち、

　　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

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Ｎｏ.6：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、それぞれの辺上に正方形を図１のように作る。ａ²の中心Ｏを通って、ＡＢに平行な直線ＫＬ、それに垂直な直線ＭＮでａ²を四つに切る。

また、ＢＥ，ＤＥ，ＡＤ，ＡＢ上にそれぞれ、ＢＰ＝ＯＮ，ＰＥ＝ＭＯ，ＥＱ＝ＫＯ，ＤＱ＝ＯＬ，ＤＲ＝ＭＯ，ＡＲ＝ＮＯ，ＡＳ＝ＯＬ，ＢＳ＝ＫＯとなるようなＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓをとり、これらの四点を通り、ＢＣあるいはＡＣに平行にＰＷ，ＱＴ，ＲＵ，ＳＶを引く。そして、１から５を図１のように定める。

 

ＰＷ，ＱＴ，ＲＵ，ＳＶがＢＣあるいはＡＣに平行であるため

ニ隣辺と四角がそれぞれ等しいため、四辺形２，３，４，５は合同である。

　ＴＷ＝ＰＷ−ＰＴ＝ＣＮ−ＧＭ＝ＣＮ−ＸＮ＝ＣＸ＝ＣＡ

　ＷＶ＝ＳＶ−ＳＷ＝ＬＢ−ＫＣ＝ＫＡ−ＫＣ＝ＣＡ

よって、四辺形ＷＶＵＴは、正方形となり、面積はとなり１は合同である。

∴□ＡＪＨＫ＋□ＧＣＢＦ＝□ＡＤＥＢ

すなわち、

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

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Ｎｏ.7：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、それぞれの辺上に正方形を図１のように作る。またＤＡを延長し、ＣＨとの交点をＵ、ＢＡに平行にＦＭを引きＭから垂直にＭＮを引く。ＥからＢＣに平行にＥＰを引き、ＦＢの延長をＰＥとＱで交わらせ、ＣＡに平行にＤＴを引く。

 

四辺形ＭＡＢＦは、平行四辺形であるため

　ＡＢ＝ＭＦ

　ＡＢ＝ＥＢ，∠ＣＢＡ＝∠ＱＢＥ、∠ＣＡＢ＝∠ＱＥＢ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　�凾`ＢＣ≡�凾dＢＱ

　∴ＢＱ＝ＢＣ＝ＦＢ

四辺形ＭＦＢＮをＦＱに沿ってすべらせ、ＭＦをＡＢに一致させると、

ニ隣辺と四角がそれぞれ等しいため

四辺形ＭＦＢＮ＝四辺形ＡＰＱＢ・・・・・・�@

 

　ＭＦ＝ＤＥ、∠ＧＭＦ＝∠ＴＤＥ、∠ＧＭＦ＝∠ＴＥＤ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾lＧＦ≡�凾cＴＥ　　　　　・・・・・・�A

□    ＵＰＥＢは平行四辺形のため

ＵＰ＝ＢＥ＝ＡＤより

ＵＡ＝ＰＤ，∠ＣＵＡ＝∠ＴＰＤ，∠ＣＡＵ＝∠ＴＤＰ

よって、一辺とその両端の角が等しいため

　�凾tＡＣ＝�凾oＤＴ　　　　　・・・・・・・�B

次にＥＢ上にＡＵに等しくＥＲをとり、ＢＣに平行にＲＳを引くと、対する角がそれぞれ等しいため

　□ＨＫＡＵ≡□ＳＱＥＲ　　　　・・・・・・・�C

また、ＵＰ＝ＢＥより

　ＡＰ＝ＢＲ

ＡＰ＝ＭＮであるから

ＭＮ＝ＢＲ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　�凾lＣＮ≡�凾aＳＲ　　　　　　・・・・・・・�D

�@    から�Dをすべて加えると

□    ＨＫＡＣ＋□ＧＣＢＦ＝□ＡＤＥＢ

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.8：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣをつくり、それぞれの辺上に正方形を図１のように作る。Ｋ，Ｃを結び、ＣとＦを結ぶと、ＫＣとＣＦは、一直線となる。ＤＡの延長とＫＣとの交点をＮとし、Ｈと結ぶ。ＥＢの延長とＣＦとの交点をＭとし、Ｇと結ぶ。ＤよりＡＣに平行に引いた直線ＤＰとＫＡの延長との交点をＰとする。そして、ＰとＡを結ぶ。ＥよりＢＣに引いた直線ＥＱとＦＢの延長との交点をＱとし、ＱとＥを結ぶ。また、図１のように１から８を定める。

 

　∠ＣＡＢ＝∠ＰＡＤ，∠ＣＢＡ＝∠ＰＤＡ，ＡＢ＝ＡＤ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　�凾oＡＤ≡�凾bＡＢ　　　　　　・・・・・・・�@　　　　　　

従って、Ｃ，Ｐを結ぶと、�凾bＫＰは直角三角形となり

　∠ＡＣＰ＝　４５°

同様にすると

�凾bＱＦは、直角三角形となり

　∠ＢＣＱ＝　４５º

よって、ＣＰとＣＱは一致する。

∠ＮＡＣ＝∠ＪＡＰ、∠ＮＣＡ＝∠ＪＰＡ，ＡＣ＝ＡＰ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　�凾`ＮＣ≡�凾`ＰＪ　　　　　　

また、ＰからＫＦに平行にＰＲを引くと

　ＫＡ＝ＡＤ，∠ＮＡＫ＝∠ＲＡＰ、∠ＮＫＡ＝∠ＲＰＡ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　�凾mＫＡ≡�凾qＡＰ

�凾jＨＮ≡�凾mＫＡより

　�凾jＨＮ≡�凾qＡＰ

�@    より

ＰＤ＝ＦＢ、∠ＲＤＰ＝∠ＭＢＦ、∠ＲＰＤ＝∠ＭＦＢ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　�凾eＭＢ≡�凾oＲＤ　　　　　　・・・・・・・�A

�A    より

∠ＰＤＬ＝∠ＣＢＭ，∠ＬＰＤ＝∠ＭＣＢ、ＰＤ＝ＢＣ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　�凾bＭＢ≡�凾oＤＬ

�凾bＧＭ≡�凾bＭＢであるから

　�凾bＧＮ≡�凾oＤＬ

図１の１，３，５、７を加えると

　�凾`ＮＣ＋�凾jＨＮ＋�凾eＭＢ＋�凾bＧＭ＝四辺形ＡＤＬＪ

同様にすると

図１の２，４，６，８を加えると

　�凾bＮＨ＋�凾mＫＡ＋�凾fＭＦ＋�凾lＣＢ＝四辺形ＪＬＥＢ

この二つを加えると

□    ＨＫＡＣ＋□ＢＦＧＣ＝□ＡＤＥＢ

よって

　　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。　　　　

---

Ｎｏ.9：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

上の問題とと同様にＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓを作る。そして、ＡＢに平行でＣを通るＩＭ，ＫＮ，ＬＦを作る。図１のように１から８を定める。

 

四辺形ＫＮＡＪは、平行四辺形であるため

　ＫＮ＝ＡＪ，∠ＮＫＡ＝∠ＪＡＰ，∠ＮＡＫ＝∠ＪＰＡ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾mＫＡ≡�凾iＡＰ

　ＡＣ＝ＡＰ、∠ＣＡＩ＝∠ＡＰＲ＝　４５º、∠ＩＣＡ＝∠ＲＡＤ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾bＩＡ≡�凾`ＲＰ

ＣＢ＝ＤＰ

∠ＭＣＢ＝∠ＲＤＰ（∠ＲＤＰ＝∠ＡＤＰ＝∠ＥＢＱ＝∠ＡＢＣ＝∠ＭＣＢ）

　∠ＭＢＣ＝∠ＲＰＤ（∠ＲＰＤ＝　４５º）

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾lＣＢ≡�凾qＤＰ

　ＧＣ＝ＰＤ，∠ＧＣＭ＝∠ＰＤＬ，∠ＭＧＣ＝∠ＬＰＤ＝　４５º

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　�凾fＣＭ≡�凾oＤＬ

図１の１，２，５，８を加えると

�凾jＮＡ＋�凾bＡＩ＋�凾lＣＢ＋�凾fＣＭ＝四辺形ＡＤＬＪ

同様にして

図１の３，４，６，７を加えると

�凾gＩＣ＋�凾gＫＮ＋�凾aＦＬ＋�凾fＬＦ＝四辺形ＪＬＥＢ

この二つを加えると

□    ＨＫＡＣ＋□ＢＦＧＣ＝□ＡＤＥＢ

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.10：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、それぞれの辺上に正方形を図１のように作る。ＣよりＡＢに平行にＣＭを引き、ＥＢを延長してＢＮを作る。ＣからＡＢに垂線ＣＰを下ろし、その足ＰからＣＡに平行にＰＱ、ＣＢに平行にＰＲを引く。また、ＰＲ上にＡＣに等しくＰＳを取り、ＳよりＰＱに平行にＳＵを引き、またＱよりＰＲに平行にＱＴを引く。

 

ＰＱ＝ＣＡ＝ＭＢ、∠ＡＱＰ＝∠ＬＢＭ，∠ＡＰＱ＝∠ＬＭＢ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾kＢＭ≡�凾`ＱＰ

　ＣＢ＝ＰＲ、∠ＬＣＢ＝∠ＢＰＲ，∠ＬＢＣ＝∠ＢＲＰ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾bＢＬ≡�凾oＲＢ

　ＨＫ＝ＰＱで四角がそれぞれ等しいため

□　ＨＫＡＣ≡□ＰＱＴＳ

�凾eＮＢ≡�凾bＡＢより

ＱＴ＝ＡＣ＝ＦＮ

ＱＤ＝ＡＤ−ＡＱ＝ＮＢ−ＬＢ＝ＮＬ

かつ、四角がそれぞれ等しいため

　　四辺形ＮＬＭＦ≡四辺形ＱＤＵＴ

ＲＥ＝ＢＥ−ＢＲ＝ＮＢ−ＬＢ＝ＮＬ

　ＵＥ＝ＤＥ−ＤＵ＝ＣＭ−ＬＭ＝ＣＬ

かつ、四角がそれぞれ等しいため

　　四辺形ＧＣＬＮ≡四辺形ＳＵＥＲ

図１の１、２，３，４，５を加えると

□    ＨＫＡＣ＋□ＢＦＧＣ＝□ＡＢＥＤ

すなわち

　　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.11：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

図１のように直角三角形ＡＢＣを作り、それぞれの辺上に正方形を作る。ＦからＡＢに平行にＦＭを引き，ＧからＡＢに垂直に下ろし、ＢＣとの交点をＮ，ＦＭとの交点をＯとする。ＢＰ＝ＯＮ，ＰＥ＝ＧＯとなるような点Ｑをとる。ＡＤ上にＡＲ＝ＯＮ，ＲＤ＝ＧＯとなるような点Ｒをとり、ＡＢ上にＡＴ＝ＯＦ，ＴＢ＝ＭＯとなるような点Ｔをとる。ＴからＡＣに平行にＴＳを引く。また、図１のように１から５を定める。

 

∠ＧＭＯ＝∠ＰＱＥ，∠ＧＯＭ＝∠ＰＥＱ，ＭＯ＝ＱＥ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾fＭＯ≡�凾oＱＥ　　　　　　　　・・・・・・・・�@

　∠ＧＯＦ＝∠ＲＤＱ，∠ＧＦＯ＝∠ＲＱＤ，ＯＦ＝ＤＱ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　�凾fＯＦ≡�凾qＤＱ　　　　　　　　・・・・・・・�A

四辺形ＯＮＢＦとＡＲＳＴは

∠ＡＲＳ＝∠ＲＤＱ＋∠ＲＱＤ＝∠ＱＰＥ＋　９０º　＝∠ＭＧＯ＋　９０°　＝∠ＯＮＢ

よって、二隣辺と四角がそれぞれ等しいため合同となる。・・・・�B

四辺形ＣＭＯＮとＵＴＢＰは

二隣辺と四角がそれぞれ等しいため合同となる。・・・・・・�C

�@、�凾fＭＦ≡�凾bＡＢより

　ＰＱ＝ＧＭ＝ＣＡ

�C、�凾fＣＮ≡�凾aＣＡ（ＧＣ＝ＦＧ，∠ＧＣＮ＝∠ＦＧＭ，∠ＣＧＮ＝∠ＧＦＭ，∴�凾fＣＮ≡�凾fＭＦ）より

　ＰＵ＝ＮＣ＝ＣＡ

よって、四辺形ＰＱＳＵは、二隣辺が等しく四角が等しいため正方形となる。

図１の１から５を加えると、□ＡＢＥＤに入る。

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.1２：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

正三角形ＡＢＣを作り、それぞれの辺上に正方形を作る。図１の点線で囲まれた部分に中心Ｏを持ち、ＡＢに平行および垂直な２直線ＫＬ，ＭＮを引く。また、ＢＥ，ＥＤ，ＤＡ，ＡＢ上にそれぞれＢＰ＝ＯＮ，ＰＥ＝ＭＯ，ＥＱ＝ＫＯ，ＤＱ＝ＯＬ，ＤＲ＝ＭＯ，ＡＲ＝ＯＮ，ＡＳ＝ＯＬ，ＢＳ＝ＫＯとなるようなＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓをとる。次に、これらの４点を通り、ＢＣあるいは、ＡＣに平行にＰＷ，ＱＴ，ＲＵ，ＳＶを引く。図１のように１から５を定める。

 

四辺形２，３，４，５は、二隣辺と対応する四角がそれぞれ等しいため合同となる。

　ＴＷ＝ＰＷ−ＰＴ＝ＣＮ−ＧＭ＝ＣＮ−ＮＸ＝ＣＸ＝ＣＡ

　ＶＷ＝ＳＶ−ＳＷ＝ＢＬ−ＫＣ＝ＫＡ−ＫＣ＝ＣＡ

よって、四辺形ＷＶＵＴは、一辺の長さがｂの正方形となり、□ＡＣＨＪと合同となる。

つまり、図１の１から５をすべて加えると、□ＡＢＥＤと一致する。

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.13：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、ＡＣ，ＢＣ上に正方形を図１のように作る。ＤからＢＨに垂線を引きＦとし、ＤＦ上に正方形を作る。

 

正方形ＢＣＥＤが、正方形ＤＦＨＥと正方形ＡＣＫＨの和と等しい事を示す。

　ＤＥ＝ＥＣ，∠ＥＣＫ＝−∠ＫＥＣ＝∠ＧＥＤ、∠ＣＥＫ＝∠ＥＤＧ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾fＤＥ≡�凾jＥＣ

　ＤＥ＝ＤＢ，∠ＦＤＢ＝　９０°　−∠ＥＤＦ＝∠ＧＤＥ、∠ＤＢＦ＝∠ＤＥＧ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾fＤＥ≡∠ＦＤＢ

　ＤＢ＝ＢＣ、∠ＦＤＢ＝９０°−∠ＦＢＤ＝∠ＡＢＣ、∠ＦＢＤ＝∠ＡＣＢ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾eＤＢ≡�凾`ＢＣ

ゆえに

　　�凾fＤＥ≡�凾jＥＣ≡�凾eＤＢ≡�凾`ＢＣ

六辺形ＤＦＡＣＥＤは、共通部分であるので、正方形ＢＣＥＤは、正方形ＤＦＨＥと正方形ＡＣＫＨの和と等しい。

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.14：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、それぞれの辺上に直角二等辺三角形を図１のように作る。ＡからＢＣに垂線を下ろし、ＢＣとの交点をＭとする。

四点ＡＢＰＣは、同一円周上にあると考えられるため

ＢＰ＝ＣＰより

　∠ＢＡＰ＝∠ＰＡＣ＝　４５°　＝∠ＱＢＡ

　∴　ＡＰ//ＱＢ

よって

　　�凾`ＱＢ＝�凾oＱＢ　　　　　　　　　・・・・・・�@

四点ＡＱＢＨは、同一円周上にあると考えられるため

　∠ＱＭＢ＝∠ＱＨＡ＝　４５º　＝∠ＰＢＭ

　∴　ＱＭ//ＢＰ

よって

　　�凾oＢＱ＝�凾oＭＢ　　　　　　　　　・・・・・・�A

�@�Aより

　　�凾`ＱＢ＝�凾oＭＢ

同様にして

　ＢＰ＝ＣＰより

　∠ＢＡＰ＝∠ＰＡＣ＝＝∠ＲＣＡ

　　∴　ＡＰ//ＲＣ

よって

　　�凾`ＲＣ＝�凾oＲＣ　　　　　　　　　・・・・・・�B

四点ＡＲＣＨは、同一円周上にあると考えられるため

　∠ＡＭＲ＝∠ＲＭＣ＝＝∠ＰＣＢ

　　∴　ＲＭ//ＣＰ

よって

　　�凾qＰＣ＝�凾lＰＣ　　　　　　　　　・・・・・・�C

�B�Cより

　　�凾`ＲＣ＝�凾lＰＣ

ゆえに

　　�凾`ＱＢ＋�凾`ＲＣ＝�凾oＢＣ

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.15：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、それぞれの辺上に直角二等辺三角形を図１のように作る。Ｂ，ＣからＡＰへ垂線を下ろしＡＰとの交点をB`、C`とする。

 

前問題より

　ＡＰ//ＢＱ//ＣＲ

　ＰＢ＝ＣＰ，∠ＢＰＢ`＝∠ＤＣＣ`、∠ＰＢＢ`＝∠ＣＰＣ`

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾oＢＢ`≡�凾oＣＣ`

　ＡＰ＝ＡＢ`＋Ｂ`Ｐ＝ＡＱ＋ＣＣ`＝ＡＱ＋ＡＲ＝ＱＲ

　２ＡＢＰＣ＝ＡＰ×（ＢＢ`＋ＣＣ`）＝　ＡＰ²

　２ＢＱＲＣ＝ＱＲ×（ＢＱ＋ＣＲ）＝　ＡＰ²

　　∴　四辺形ＡＢＰＣ＝四辺形ＢＱＲＣ

よって

　�凾oＢＣ＝�凾pＡＢ＋�凾qＣＡ

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.16：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、それぞれの辺上に直角二等辺三角形を図１のように作る。

　ＢＣ＝ＰＣ，ＣＲ＝ＣＡ、∠ＢＣＲ＝∠ＰＣＡ

よって、二辺とその間の角がそれぞれ等しいため

　　�凾aＣＲ≡�凾`ＣＰ　　　　　　　　・・・・・・�@

ゆえに

　ＢＲ＝ＰＡ、ＢＱ＝ＢＡ，∠ＱＢＲ＝∠ＡＢＰ

よって、二辺とその間の角がそれぞれ等しいため

　　�凾aＱＲ≡�凾`ＢＰ　　　　　　　　・・・・・・�A

�@�Aより

　四辺形ＢＱＲＣ＝四辺形ＡＢＰＣ

この式の両辺から�凾`ＢＣを取り除くと

　�凾oＢＣ＝�凾pＡＢ＋�凾qＣＡ

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.17：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、それぞれの辺上に正方形を図１のように作る。ＡからＢＣ，ＤＥに垂線を下ろし、それぞれの交点をＭ，Ｌとする。ＡＬを延長してＦＧの延長との交点をＮとする。

 

　ＡＧ＝ＢＡ，∠ＮＡＧ＝∠ＣＢＡ，∠ＮＧＡ＝∠ＣＡＢ

よって、二辺とその間の角がそれぞれ等しいため

　�凾`ＧＮ≡�凾`ＢＣ

ゆえに

　ＡＮ＝ＢＣ＝ＬＭ

ＤＢの延長とＦＮとの交点をＰとすると

底辺と高さが等しいため

　長方形ＢＤＬＭ＝平行四辺形ＰＢＡＮ　　　　・・・・・�@

ＡＢが共通で、高さが等しいため

　□ＡＢＦＧ＝平行四辺形ＰＢＡＮ　　　　　　・・・・・�A

�@�Aより

　長方形ＢＤＭＬ＝□ＡＢＦＧ

同様にすると

　長方形ＭＬＥＣ＝□ＡＣＫＨ

よって

□    ＡＢＦＧ＋□ＡＣＫＨ＝長方形ＢＤＭＬ＋長方形ＭＬＥＣ＝□ＢＤＥＣ

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.18：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、ＣよりＡＢへ垂線ＣＤを下ろす。

 

対応する三角が、それぞれ等しいため

　�凾`ＢＣ∽�凾`ＤＣ

　∴ＡＢ：ＡＣ＝ＡＣ：ＡＤ

　ＡＣ²　＝ＡＢ・ＡＤ

　　　　ｂ²　＝ｃ・ＡＤ　　　　　　・・・・・・・�@

対応する三角がそれぞれ等しいため

　�凾`ＢＣ∽�凾cＢＣ

　∴ＡＢ：ＢＣ＝ＢＣ：ＤＢ

　　　ＢＣ²　＝ＡＢ・ＤＢ

　　　ａ²　＝ｃ・ＤＢ　　　　　　・・・・・・・・�A

�@    と�Aを加えると

　ａ²＋ｂ²　＝ｃ・（ＡＤ＋ＤＢ）＝　ｃ²

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.19：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、ＣよりＡＢへ垂線ＣＤを下ろす。

                                         

（１７）より

　�凾`ＢＣ∽�凾`ＤＣ∽�凾cＢＣ

よって、相似な三角形の面積の比は、対応辺の２乗比に等しいため

c ²/ �凾`ＢＣ＝　ｂ²　/�凾`ＤＣ＝　ａ² /�凾cＢＣ

　　ゆえに

　　ｃ²　/�凾`ＢＣ＝　ｂ²＋ａ²　/（�凾`ＤＣ＋�凾cＢＣ）

　�凾`ＢＣ＝�凾`ＤＣ＋�凾cＢＣ

すなわち

　 ａ²+b²=c²

となる。

---

Ｎｏ.20：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、それぞれの辺上に正方形を作る。ＣからＡＢ，ＥＦに垂線を下ろし、ＡＢ，ＥＦの交点をＤ，Ｇとする。

 

（１７）より

　�凾`ＢＣ∽�凾`ＣＤ

　ＡＤ：ＡＣ＝ＡＣ：ＡＢ

　　 b² ＝ＡＤ・ＡＥ　　　　　　　・・・・・・・�@

　ＡＤ：ＡＢ＝ＡＤ：ＡＥ

　ＡＢ・ＡＤ＝ＡＤ・ＡＥ

�@    より

b² ＝ＡＤ・ＡＢ＝ＡＤ・ＡＥ＝長方形ＡＧ

　ＡＢ：ＢＣ＝ＢＣ：ＤＢ

　　 ａ² ＝ＡＢ・ＤＢ　　　　　　・・・・・・・・�A

　ＤＢ：ＡＢ＝ＤＢ：ＢＦ

　ＡＢ：ＤＢ＝ＢＦ：ＤＢ

�A    より　
ａ² ＝ＡＢ・ＤＢ＝ＢＦ・ＤＢ＝長方形ＢＧ

　ａ²＋ｂ²＝長方形ＡＧ＋長方形ＢＧ ＝　c²

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.21：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、Ａを中心としＡＣを半径とする円を作る。円とＡＢとの交点をＤ，ＡＢの延長線との交点をＥとする。この円は、点ＣでＢＣと接する。

 

　�凾cＢＣ∽�凾bＢＥより

　ＢＤ：ＢＣ＝ＢＣ：ＢＥ

　　ＢＣ²　＝ＢＤ・ＢＥ

ＢＤ＝ＡＢ−ＡＤ、ＢＥ＝ＡＢ＋ＡＥより

　　ＢＣ²　＝（ＡＢ−ＡＣ）（ＡＢ＋ＡＣ）

　　　＝　ＡＢ²−ＡＣ²

　　ＡＢ²　＝　ＢＣ²　＋　ＡＣ²

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.22：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、�凾`ＢＣに点Ｏを中心とする内接円を作り、ＯからＡＣ，ＡＢ，ＢＣに垂線を下ろし、接点をＥ，Ｆ，Ｄとする。この内接円の半径をｒとする。

 

ＦＩ＝ＤＩ，∠ＢＦＩ＝∠ＢＤＩ、∠ＢＩＦ＝∠ＢＩＤ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　�凾aＩＦ≡�凾aＩＤ

同様にすると

　�凾bＥＩ≡�凾bＤＩ

　Ｓ＝ｒ²＋２・１/２·aｒ＝ｒ（ｒ＋ａ）＝ｓｒ　　　　・・・・・�@

　Ｓ＝　１/２·ｂｃ　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・�A

　ａ＝（ｃ−ｒ）＋（ｂ−ｒ）

　　＝ｂ＋ｃ−２ｒ

　ｒ＝　１/２（ｂ＋ｃ−ａ）

　Ｓ＝　１/２（ａ＋ｂ＋ｃ）

�@�Aより

　Ｓ＝　１/２・ｂｃ＝　１/４（ａ＋ｂ＋ｃ）（ｂ＋ｃ−ａ）

　　２ｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ｂ＋ｃ−ａ）

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.23：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、図１のようにＡＢに垂直にＡＥを引き、ＡＢ＝ＡＥとする。次に、ＣＡを延長してＡＤ＝ＣＢとなるようにし、Ｄ，Ｅを結ぶ。

 

ＡＢ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＡＤ、∠ＣＢＡ＝∠ＤＡＥ

よって、二辺とその間の角がそれぞれ等しいため

　　�凾`ＤＥ≡�凾`ＢＣ

　四辺形ＤＥＢＣ＝　１/２（ａ＋ｂ）²

また、

　四辺形ＤＥＢＣ＝２�凾`ＢＣ＋�凾`ＢＥ

　　　　　　　　＝ａｂ＋１/２・ｃ²

よって

　１/２（ａ＋ｂ）²　＝ａｂ＋　１/２・ｃ²

すなわち

　　ａ²＋ｂ＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.24：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、それぞれの辺上に正方形を作る。ＣからＡＢに垂線ＣＬＭを引く。またＫ，ＢおよびＣ、Ｄを結ぶ。

 

�凾bＡＤと長方形ＡＤＭＬは、底辺が共通で高さが等しいため

　長方形ＡＤＭＬ＝２�凾bＡＤ

　ＫＡ＝ＡＣ，ＡＢ＝ＡＤ，∠ＫＡＢ＝∠ＣＡＤ

よって、二辺とその間の角がそれぞれ等しいため

　�凾bＡＤ≡�凾jＡＢ

�凾jＡＢと□ＫＡＣＨは、底辺が共通で高さが等しいため

□    ＫＡＣＨ＝２�凾jＡＢ

ゆえに

□ＫＡＣＨ＝長方形ＡＤＭＬ

同様にすると

□ＢＣＧＦ＝長方形ＬＭＥＢ

上の二つを加えると

□    ＫＡＣＨ＋□ＢＣＧＦ＝□ＡＢＥＤ

よって

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

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Ｎｏ.25：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、それぞれの辺上に正方形を作る。ＣからＡＢに垂直にＣＰＱを引く。また、ＫからＡＢに平行にＫＴを引きＤからＡＣに平行にＤＳを引く。

 

底辺が等しく高さが等しいため

　　長方形ＡＤＱＰ＝平行四辺形ＡＤＳＣ　　　　・・・・・�@

　ＫＡ＝ＣＡ，ＡＢ＝ＡＤ，∠ＫＡＢ＝∠ＣＡＤ

よって

　　平行四辺形ＡＤＳＣ≡平行四辺形ＡＢＴＫ　　・・・・・�A

底辺が共通で高さが等しいため

　　平行四辺形ＡＢＴＫ＝□ＫＡＣＨ　　　　　　・・・・・�B

�@�A�Bより

　　長方形ＡＤＱＰ＝□ＫＡＣＨ

同様にすると

　　長方形ＰＱＥＢ＝□ＢＦＧＣ

∴　長方形ＡＤＱＰ＋長方形ＰＱＥＢ＝□ＫＡＣＨ＋□ＢＦＧＣ＝□ＡＢＥＤ

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.26：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、それぞれの辺上に正方形を作る。ＣからＡＢに垂線ＣＰＱを作る。またＤからＡＣに平行な延長線のＣＱとの交点をＳ、ＫＡとの延長線との交点をＬとする。

 

　ＡＢ＝ＡＤ、∠ＣＡＢ＝∠ＬＡＤ、∠ＣＢＡ＝∠ＬＤＡ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾`ＢＣ≡�凾`ＤＬ

ゆえに

　ＡＬ＝ＡＣ＝ＡＫ

したがって、底辺ＡＣが共通で高さが等しいから

　　平行四辺形ＡＤＳＣ＝□ＫＡＣＨ

Ｎｏ25より

　　長方形ＡＤＱＰ＝平行四辺形ＡＤＳＣ

　　長方形ＡＤＱＰ＝□ＫＡＣＨ

同様にすると

　　長方形ＰＱＥＢ＝□ＢＦＧＣ

この二つを加えると

□    ＫＡＣＨ＋□ＢＦＧＣ＝長方形ＡＤＱＰ＋長方形ＰＱＥＢ＝□ＡＢＥＤ

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

---

Ｎｏ.27：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣをつくり、それぞれの辺上に正方形を作る。ＣからＡＢに垂線を下ろし、ＡＢとの交点をＰ，ＤＥとの交点をＱとする。ＫＨの延長とＦＧの延長との交点をＬとし、Ｌ，Ｃを結ぶ。また、ＤＡを延長してＬＫとの交点をＭとする。

 

ＡＣ＝ＣＨ，ＣＢ＝ＨＬ，∠ＡＣＢ＝∠ＣＨＬ

よって、二辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾`ＢＣ≡�凾kＨＣ

　∴ＬＣ＝ＡＢ＝ＡＤ

四辺形ＭＡＣＬは、平行四辺形であるため、底辺と高さが等しく

　　長方形ＡＤＱＰ＝平行四辺形ＭＡＣＬ　　　　　・・・・・・・�@

また、平行四辺形ＭＡＣＬと□ＫＡＣＨは、底辺と高さが等しいため

　　平行四辺形ＭＡＣＬ＝□ＫＡＣＨ　　　　　　　・・・・・・・�A

�@�Aより

長方形ＡＤＱＥ＝□ＫＡＣＨ

同様にすると

　　長方形ＰＱＥＢ＝□ＢＦＧＣ

この二つを加えると

□    ＫＡＣＨ＋□ＢＦＧＣ＝長方形ＡＤＱＥ＋長方形ＰＱＥＢ＝□ＡＢＥＤ

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

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Ｎｏ.28：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、図１のようにＡＣ，ＢＣの辺上に正方形を作る。ＫＨの延長とＦＧの延長との交点をＬとする。

 

　ＡＣ＝ＡＫ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＫ，∠ＡＣＢ＝∠ＡＫＤ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾jＡＤ≡�凾`ＢＣ　　　　　　　　　　　　・・・・・�@

　ＢＣ＝ＢＦ，∠ＢＣＡ＝∠ＢＦＥ，∠ＡＢＣ＝∠ＥＢＦ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾dＢＦ≡�凾`ＢＣ　　　　　　　　　　　　・・・・・�A

�@�Aより

　ＤＡ＝ＥＢ＝ＡＢ

よって、四辺形ＤＡＢＥは、正方形となる。

平行四辺形ＬＣＡＤと長方形は、底辺と高さが等しいため

　　平行四辺形ＬＣＡＤ＝長方形ＤＱＰＡ　　　　　・・・・・�B

平行四辺形ＬＣＡＤと□ＫＡＣＨは、底辺と高さが等しいため

　　平行四辺形ＬＣＡＤ＝□ＫＡＣＨ　　　　　　　・・・・・�C

�B�Cより

　　長方形ＤＡＰＱ＝□ＫＡＣＨ　　　　　　　　　・・・・・�D

同様にすると

　　長方形ＱＰＢＥ＝□ＧＣＢＦ　　　　　　　　　・・・・・�E

�Dと�Eを加えると

□    ＫＡＣＨ＋□ＧＣＢＦ＝長方形ＤＡＰＱ＋長方形ＱＰＢＥ＝□ＡＢＥＤ

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

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Ｎｏ.29：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、それぞれの辺上に正方形を作る。ＫＡの延長とＦＢの延長との交点をＬとし、また、ＤからＡＬに平行にＤＭを引き、ＥからＢＬに平行にＥＭを引き、その交点をＭとする。ＫＬの延長とＥＭの交点をＮとする。

　ＡＢ共通、∠ＣＡＢ＝∠ＬＢＡ、∠ＣＢＡ＝∠ＬＡＢ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾bＡＢ≡�凾kＢＡ　　　　　　　　・・・・・・�@

　ＡＢ＝ＥＤ，∠ＣＢＡ＝∠ＭＤＥ、∠ＣＡＢ＝∠ＭＥＤ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾bＡＢ＝�凾lＥＤ　　　　　　　　・・・・・・�A

�@�Aより

　　�凾bＡＢ＝�凾kＢＡ＝�凾lＥＤ　　　　・・・・・�B

ＡＤＭＬとＬＭＥＢは、平行四辺形となるため

　ＬＭ＝ＡＤ＝ＡＢ

　ＬＭ＝ＡＢ，∠ＣＢＡ＝∠ＬＭＮ、∠ＣＡＢ＝∠ＮＬＭ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾kＭＮ≡�凾`ＢＣ

　∴　ＬＮ＝ＡＣ＝ＡＫ

□    ＫＡＣＨと平行四辺形ＬＭＥＢは、底辺と高さが等しいため

□    ＫＡＣＨ＝平行四辺形ＬＭＥＢ

同様にすると

□    ＢＦＧＣ＝平行四辺形ＡＤＭＬ

したがって、�Bより

□    ＡＤＥＢ＝□ＡＤＥＢ＋�凾cＭＥ−�凾`ＬＢ

＝平行四辺形ＡＤＭＬ＋平行四辺形ＬＭＥＢ

＝□ＫＡＣＨ＋□ＣＢＦＧ

すなわち

　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

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Ｎｏ.30：

ピタゴラスの定理　大矢真一著　参考

直角三角形ＡＢＣを作り、それぞれの辺上に正方形を作る。Ｋ，ＣおよびＣ，Ｆを結ぶ。ＣＢに平行にＤＬ，ＣＡに平行にＥＬを引き、交点ＬとＣとを結び、Ｈ，Ｇを結ぶ。

 

　ＡＢ＝ＥＤ，∠ＣＢＡ＝∠ＬＤＥ、∠ＣＡＢ＝∠ＬＥＤ

よって、一辺とその両端の角がそれぞれ等しいため

　　�凾bＡＢ≡�凾kＥＤ　　　　　　　　　・・・・・・�@

　ＡＣ＝ＨＣ，ＢＣ＝ＧＣ，∠ＡＣＢ＝∠ＨＣＧ

よって、二辺とその間の角がそれぞれ等しいため

　　�凾bＡＢ≡�凾bＨＧ　　　　　　　　　・・・・・・�A

�@�Aより

　　�凾`ＢＣ≡�凾cＬＥ≡�凾gＣＧ

　ＫＡ＝ＣＡ，ＡＢ＝ＡＤ、ＢＦ＝ＤＬ、∠ＫＡＢ＝∠ＣＡＤ、∠ＡＢＦ＝∠ＡＤＬであるから

　　四辺形ＫＡＢＦ≡四辺形ＣＡＤＬ

同様にすると

　　四辺形ＫＦＧＨ≡四辺形ＣＬＥＢ

この二つを加えると

　　六辺形ＫＡＢＦＧＨ＝六辺形ＣＡＤＤＬＥＢ

左辺から�凾gＣＧ＋�凾`ＢＣ＝２�凾`ＢＣから引いて、右辺から�凾cＬＥ＋�凾`ＢＣ＝２�凾`ＢＣを引くと

□    ＫＡＣＨ＋□ＢＦＧＣ＝□ＡＤＥＢ

すなわち

　 ａ²＋ｂ²＝ｃ²

となる。

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