ＤがＣを割り切るか割り切らないかのどちらかである。

１，まず割り切れるとするとき

ＤはＣを割り切る。よって，Ａ，Ｂ，Ｃの共通の量である。そして，Ｄより大きな量だとＡとＢは割り切れないので， 最大であることも明らかである。

２，次に割り切れないとする

まず，ＣとＤが通約可能であることを示す。

Ａ，Ｂ，Ｃは通約可能であるのでこれらを割り切るいくつかの量がある。 そしてそれは，Ａ，Ｂも割り切るのでＡ，Ｂの最大公約量のＤも割り切る。 �].3.Cor.

そして，それはＣも割り切るので，ＣとＤは通約可能である。

Ａ，Ｂ，Ｃの最大公約量をＥとする。 �].3

ＥはＤを割り切る，ＤはＡ，Ｂを割り切るので，ＥもＡ，Ｂを割り切る。 ＥはＣも割り切るので，ＥはＡ，Ｂ，Ｃの公約量である。

次に最大でもあることを示す。

Ｅが最大でないならば，Ｅより大きなＦが存在する。 ＦはＡ，Ｂ，Ｃを割り切る。 �].3.Cor.

ＦはＡ，Ｂの最大公約量のＤも割り切る。 そしてＣも割り切るので，ＦはＣもＤも割り切る。 �].3.Cor.

それゆえに，ＦはＣとＤの最大公約量も割り切る。最大公約量は，Ｅである。

よって，ＥもＦで割り切ることができる。

しかしＥはＦよりも小さいので，割り切ることができない。よって不可能なので， Ｅより大きいＡ，Ｂ，Ｃを割り切る量はない，よってＥが最大公約量である。

もし，ＤがＣをわりきれたらＤが最大公約量である。 割り切れないならば，Ｅが最大公約量である。

よって，与えられた，三つの通訳可能な量の最大公約量が見つかった。

系

ある一つの量が三つの量を割り切れるならば最大公約量も割り切ることができる。同じよ　うに 最大公約量は多くの量によってみつけることができる。そして，系は拡張される。

証明終了