命題８
「与えられた正方形に円を内接すること」
与えられた正方形をＡＢＣＤとせよ。
与えられた正方形ＡＢＣＤに円を内接することが要求されている。
点Ｅ、Ｆのそれぞれで線分ＡＤ、ＡＢを２等分しなさい。Ｅを通り、ＡＢ、ＣＤのどちらかと平行なＥＨをひき、Ｆを通り、ＡＤ、ＢＣのどちらかと平行なＦＫをひきなさい。それゆえ、図形ＡＫ、ＫＢ、ＡＨ、ＨＤ、ＡＧ、ＧＣ、ＢＧ、ＧＤのそれぞれは平行四辺形で、それらの対辺は明らかに等しい。命題Ⅰ．10，命題Ⅰ．31，命題Ⅰ．34
いま、ＡＤはＡＢと等しく、ＡＥはＡＤの半分で、ＡＦはＡＢの半分なので、ＡＥはＡＦと等しい。さらに、対辺も等しいので、ＦＧはＧＥと等しい。
同様にして、線分ＧＨ、ＧＫのそれぞれは線分ＦＧ，ＧＥと等しいことが証明できる。それゆえ、４線分ＧＥ、ＧＦ、ＧＨ、ＧＫは互いに等しい。
それゆえ、中心をＧ、線分ＧＥ、ＧＦ、ＧＨ、ＧＫのうちの１つを半径にもってかかれる円は残りの点も通る。
そして、Ｅ、Ｆ、Ｈ、Ｋにおける角は直角なので、それは線分ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡと接する。
円がＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡのいずれかと交わるならば、円の直径にその両端から直角にひかれた線分は円の内部におちることになるであろう。これは不合理であることが証明された。それゆえ、中心をＧ、半径をＧＥ、ＧＦ、ＧＨ、ＧＫのうちの１つをもってかかれる円は線分ＡＢ、ＢＣ、ＣＣＤ、ＤＡと交わらない。命題Ⅲ．16
それゆえ、それはそれらと接し、正方形ＡＢＣＤに内接している。
それゆえ、円は与えられた正方形に内接している。
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