命題９
「与えられた正方形に円を外接すること」
与えられた正方形をＡＢＣＤとせよ。
与えられた正方形ＡＢＣＤに円を外接することが要求されている。
ＡＣ、ＢＤを結び、それらをＥで互いに交わっているとせよ。
そのとき、ＤＡはＡＢと等しく、ＡＣは共通なので、２辺ＤＡ、ＡＣは２辺ＢＡ、ＡＣと等しく、底辺ＤＣは底辺ＢＣと等しいので、角ＤＡＣは角ＢＡＣと等しい。命題Ⅰ．８
それゆえ、角ＤＡＢはＡＣで２等分される。
同様にして、角ＡＢＣ、ＢＣＤ、ＣＤＡのそれぞれは線分ＡＣ、ＤＢで２等分されることが証明できる。
いま、角ＤＡＢは角ＡＢＣと等しく、角ＥＡＢは角ＤＡＢの半分で、角ＥＢＡは角ＡＢＣの半分なので、角ＥＡＢは角ＥＢＡと等しい。さらに、対辺ＥＡはＥＢと等しい。命題Ⅰ．６
同様にして、線分ＥＡ、ＥＢのそれぞれは線分ＥＣ、ＥＤと等しいことが証明できる。
それゆえ、４線分ＥＡ、ＥＢ、ＥＣ、ＥＤは互いに等しい。
それゆえ、中心をＥ、半径を線分ＥＡ、ＥＢ、ＥＣ、ＥＤのうちの１つをもってかかれる円は残りの点も通り、正方形ＡＢＣＤに外接している。
それをＡＢＣＤのように外接するとせよ。
それゆえ、円は与えられた正方形に外接している。
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