命題３９
「同じ底辺上にあり同じ側にある等しい三角形はまた同じ平行線の間にある。」
同じ底辺ＢＣ上にありそれと同じ側にある等しい三角形をＡＢＣ、ＤＢＣとせよ。ＡＤを結びなさい。
ＡＤはＢＣと平行であることをいう。
もしそうでなければ、点Ａを通り、直線ＢＣと平行なＡＥをひき、ＥＣを結びなさい。命題Ⅰ．31
それゆえ、三角形ＡＢＣは三角形ＥＢＣと等しい。なぜなら、それは同じ底辺ＢＣ上にあり、同じ平行線の間にある。命題Ⅰ．37
しかし、ＡＢＣはＤＢＣと等しい。それゆえ、ＤＢＣもＥＢＣと等しい。大きいほうが小さいほうと等しいが、不可能である。共通概念Ⅰ．１
それゆえ、ＡＥはＢＣと平行ではない。
同様にして、ＡＤ以外のどの直線もそうでないことを証明することができる。それゆえ、ＡＤはＢＣと平行である。
それゆえ、同じ底辺上にあり同じ側にある等しい三角形はまた同じ平行線の間にある。
証明終了