命題１
二つの異なる量があるとする，二つのうちの大きいほうで，その全体の長さから半分より大きな量をひく，そしてひいて残ったほうから更に半分より大きい量をひくこの過程を繰り返すと，そうすると最初の二つの量の小さいほうよりちいさい量ができる。
そして，この理論は全体から半分をひく場合にも同じことがいえる。
ＡＢとＣの二つの異なる量があるとすり，ＡＢのほうが大きい。 ＡＢから半分より大きい量をひく。そしてさらに残りから半分よりも大きい量をひく そしてこの過程を繰り返すと残りは，Ｃよりも小さい量になる。
ＡＢより大きなＣを何倍かにされたＤＥがある。Ⅴ.Def.4
ＤＦ，ＦＧ，ＧＥをＣと同じになるように分ける。ＡＢから半分より大きなＢＨをひく。そして，ＡＨから半分より大きなＫＨをひく。ＡＢがＤＥを分けた個数と同じになるまでこれを繰り返す。ＡＫ，ＫＨ，ＨＢがＤＥ，ＦＧ，ＧＥと同じ個数に分割された。
ＤＥはＡＢより大きい，ＤＥから半分より小さいＥＧをひくＡＢから半分より大きいＨＢをひく。それゆえ残ったものＧＤはＨＡよりおおきい。そして，ＧＤはＨＡより大きい。
ＧＤから半分のＧＦをひく，ＨＡから半分より大きいＨＫをひくそれゆえＤＦはＡＫよりおおきい>
ここで，ＤＥはＣを等しいよってＣもまたＡＫより大きいということになる。よってＡＫはＣよりちいさい。
よってＡＢを分割していったものは，最初にちいさいほうだったＣより小さいことが言える。
証明終了