第５巻
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第５巻の内容
定義１ 小さい量が大きい量を測りきるとき、小さい量は大きい量の一部分である。
定義２ 大きい量が小さい量で測りきられるとき、大きい量は小さい量の倍量である。
定義３ 比は、同種の２つの量の間の大きさに関する一種の関係である。
定義４ ２つの量は、かけられたとき、他方を超すことができる一方の量との比を持つといわれる。
定義５ 第１の量と第３の量のどんな同倍量で、第２の量と第４の量のどんな同倍量でも、第１の量と第３の量の同倍数が超えていても、等しくても、及ばなくても、第２の量と第４の量の同倍量が、おのおの同じ順になるとき、第１の量に対する第２の量と、第３の量と第４の量は同じ比であるといわれる。
定義６ 同じ比を持つ量を比例していると呼ぶことにする。
定義７ 同倍量で、第１の量の倍量が第２の量の倍量を超すが、第３の量の倍量が第４の倍量を超さないとき、第１の量は第２の量に対して、第３の量が第４の量に対するものより大きい比をもつといわれる。
定義８ ３つの項での比例は、最も少なく可能である。
定義９ ３つの量が比例のとき、第１の量は第３の量に対し、第１の量がもつ第２の量に対する比の２乗の比をもつといわれる。
定義１０ ４つの量が連続的に比例するとき、第１の量は第４の量に対し、第２の量に対する比の３乗の比をもつといわれ、何個でも比例なら、常に、同様である。
定義１１ 比の前項は、前項に対するといわれ、比の後項は後項に同様である。
定義１２ 錯比とは、前項に対して前項を、後項に対して後項をとることをいう。
定義１３ 逆比とは、前項に対して後項を、後項に対して前項をとることをいう。
定義１４ あわせてとられた比とは、前項を後項と一緒にしたものに関して、後項自身をとることをいう。
定義１５ 分けてとられた比とは、前項が後項を超えている超過に関して、後項自身をとることをいう。
定義１６ 比の反転とは、前項に関して、前項が後項を超えている超過をとることをいう。
定義１７ 等間隔比とは、いくつかの量とおなじだけのもう１つのセットが、２つ２つにとられ、同じ比例であり、第２の量の中で最初が最後に対するように、第１の量のなかで最初と最後が対するとき起こる。いいかえれば、中間の項の取り除きによって、端の項をとることを意味する。
定義１８ 乱比例とは、３つの量と、同じだけのもう１つのセットがあり、第２の量において、第３が前項に対するように、第１の量において後項が第３に対する限り、第２の量において前項が後項に対するように、第１の量において前項が後項に対するとき起こる。
命題１ もし、任意個の量が、それぞれ同数個の他の量の同倍量であるならば、その総和は、その総和の同倍量である。
命題２ もし、第１の量が第２の、第３が第４の同倍量で、第５もまた第２の、第６が第４の同倍量であるならば、第１と第５の和もまた第２の、第３と第６の和が第２の同倍量である。
命題３ もし、第１の量が第２の、第３が第４の同倍数で、第５の量もまた第２の、第３が第４の同倍数であるなら、第１と第５の和もまた第２の、第３と第６の和が第４の同倍数である。
命題４ 第１の量は第２に同じ比を持ち、同じように第３は第４に同じ比を持つならば、第１と第３の同倍数は第２と第４のそれぞれの同倍数に同じ比を持つ。
命題５ ある量はある量の同倍数で同じように引かれた部分は引かれた部分のの同倍数であるならば、余りもまた余りの同倍数で同じように全体は全体の同倍数である。
命題６ ２つの量が２つの量の同倍数で、それらから引かれたいくつかの量が同倍数ならば、余りは同じ量と等しいかまたはそれらの同倍数である。
命題７ 等しい量は同じ量に同じ比をもち、同じ量は等しい量に同じ比を持つ。
命題８ 等しくない量のうち、大きい量は小さい量が持つより大きい比を同じ量に持ち、同じ量は大きい量に持つより大きい比を小さい量に持つ。
命題９ 同じ量に対して同じ比を持つ量は互いに等しい。同じ量がそれらに対して同じ比を持つ量は等しい。
命題１０ 同じ量に比をもつ量のうち、大きい比を持つものは大きい。大きい比を持つ同じ量がもつものは小さい。
命題１１ 同じ比で同じ量である比は互いにもまた同じ量である。
命題１２ 任意個の量が比例しているならば、前項の１つが後項の１つに対すると同じように、前項の和が後項の和に対する。
命題１４ 第１の量が第２の量に同じ比を持つと同じように第３の量が第４の量に同じ比をもち、第１の量が第３の量より大きいならば、第２の量は第４の量より大きく、等しいならば等しく、小さいならば小さい。
命題１６ ４つの量が比例しているならば、それらは交互にもまた比例している。
命題１７ 量が共にとられて比例しているならば、それらはそれぞれ分けてとられてもまた比例している。
命題１８ 量がそれぞれ分けてとられて比例しているならば、それらは共にとられてもまた比例している。
命題１９ 全体が全体に対すると同じように引かれた部分が引かれた部分に対するならば、余りが余りに対すると同じように全体が全体に対する。
命題２２ たくさんの量があり、他のそれらと等しい個数の量があり、２項と２項を共にとられて同じ比であるならば、等間隔比により、それらは同じ比でもある。
命題２３ ３つの量があり、他のそれらと等しい個数の量があり、２項と２項を共にとられて同じ比であり、それらの比が入れ替えられるならば、等間隔比により、それらは同じ比でもある。
命題２５ ４つの量が比例しているならば、最も大きいものと最も小さいものの和は、２つを除いたものの和より大きい。