命題15

二つの通約可能な量がたされてひとつになったとき，
それ全体もまたそれらの量とそれぞれと通約可能である。
そして，もし全体がそれらの一つと通約可能であるならば， もとの量もまた通約可能である。

通約可能な二つの量AB,BCがあり，たされて一つになるとする。

AC全体は量ABと量BCのそれぞれと通約可能であることを示す。

ABはBCと通約可能なのである量Dがそれらを割り切る。

DはABとBCを割り切るので全体のACも割り切る。
しかし，それはABとBCも割り切る。 ゆえにDは，AB,BC,ACを割り切る。 ゆえに，ACはAB,BCのそれぞれと通約可能である。 �].Def.1

次に，ACがABと通約可能であるとする。

ABはBCとも通約可能であることを示す。

ACはABと通約可能なのである量Dはそれらを割り切る。

量DはCAとABを割り切るので残りのBCも割り切る。 しかし，それは，ABも割り切るのでDはABとBCを割り切る。 �].Def.1

ゆえに，ABとBCは通約可能である。

証明終了