命題39

平方において通約不可能な2つの線分でできた正方形の和が有理面積で， その2つの線分によって囲まれた長方形が中項面積であるならば，
この線分全体は無理線分であり，これは優線分と呼ばれる。

平方において通約不可能な2つの線分をAB，BCとし， これらは与えられた条件を満たすものとする。 �].33

ACが無理線分である事を示す。

AB,BCでできた長方形は中項面積なので， AB,BCでできた長方形の2倍も中項面積である。 �].6 �].23.Cor.

また，AB,BCでできた正方形の和は有理面積である。

ゆえに，AB,BCでできた長方形の2倍は， AB,BCでできた正方形の和と通約不可能である。

よって，AB,BCでできた正方形の和とAB,BCでできた長方形の2倍との和，
すなわちACでできた正方形は AB,BCでできた正方形の和と通約不可能である。

したがって，ACでできた正方形は無理面積である。
よって，ACは無理線分である。 �].16 �].Def.4

これを優線分と呼ぶ。

証明終了