命題38

平方においてのみ通約可能で中項な長方形に含まれる二つの中項線分を加えると
全体は無理である。
これを第二の双中項線分と呼ぶ。

平方においてのみ通約可能で中項な 長方形に含まれる二つの中項線分ABとBCを加える。

ＡＣが無理であることを示す。

有理な直線をDEとする。
そしてDE上の平行四辺形DFとAC上の正方形を等しくし，DGを幅とする。 �T.41

AC上の正方形はAB上とBC上の正方形の和と 長方形AB,BCの二倍との和に等しい。

そして，AB,BC上の正方形の和に等しいEHがDE上に作られたとする。

そして残りのHFは長方形AB,BCの二倍と等しい。 �U.4

AB,BCは中項線分なので，AB上とBC上の正方形も中項である。

しかし，仮定により長方形AB,BCの二倍も中項である。

そして，EHはAB上とBC上の正方形の和に等しい。
FHは長方形AB,BCの二倍と等しい。

よって，EH,HFはそれぞれの長方形は中項である。

それらは有理線分DE上にある。

よって，DHとHGの直線のそれぞれは有理で， DEと長さにおいて通約不可能である。 �].22

ABはBCと長さにおいて通約不可能であるので，
ABがBCに対するようにAB上の正方形が長方形AB，BC　に対する。

よって，AB上の正方形は長方形AB，BCと通約不可能である。 �].11

ここで，AB上とBC上の正方形の和はAB上の正方形と通約可能。

長方形AB，BCの二倍は長方形AB，BCと通約可能。 �].15 �].6

よって，AB上とBC上の正方形の和は 長方形AB，BCの二倍と通約不可能である。 �].13

ここで，EHはAB上とBC上の正方形と等しい。
そして，HFは長方形AB，BCとひとしい。

よって，EHはHFと通約不可能。DHもHGと長さにおいて通約不可能。 �Y.1 �].11

よって，DHとHGは有理で平方においてのみ通約可能
よって，DGは無理 �].36

ここで，DEは有理なので無理と有理に囲まれる長方形は無理。

よって，DFの面積は無理であり， それと等しい正方形の辺は無理である。 �].20 �].Def.4

ここで，ACはDFと等しい正方形の辺である。

よって，ACは無理であり，第二の双中項線分と呼ばれる。

証明終了