命題82

「劣線分には，それに付加されて平方においてのみ全体と通約不可能で，全体と付加された線分でできた正方形の和を有理面積とし，それらによって囲まれた長方形の2倍を中項面積とするただ1つの線分がある」

ABを劣線分とし，BCがABに付加されたとする。 このとき，AC,CBは平方においてのみ通約不可能で，AC,CBでできた正方形の和を有理面積とし，AC,CBによって囲まれた長方形の2倍を中項面積とする線分である。 �].76

AB上には，同じ条件を満たす線分が他にはない事を示す。

可能ならば，BDが付加されたとする。このとき，AD,DBは平方においてのみ通約不可能で，先に延べた条件を満たす線分である。 �].76

AD,DBでできた正方形の和と，AC,CBでできた正方形の和との差は，AD,DBでできた長方形の2倍と，AC，CBでできた長方形の2倍との差に等しく，AD,DBでできた正方形の和と，AC,CBでできた正方形の和は有理面積である。 よって，AD,DBでできた長方形の2倍は，AC,CBでできた長方形の2倍より有理面積だけ大きい。これはその両方ともが中項面積なので，不可能である。 �].26

よって，劣線分には，それに付加されて平方においてのみ全体と通約不可能で，全体と付加された線分でできた正方形の和を有理面積とし，それらによって囲まれた長方形の2倍を中項面積とするただ1つの線分がある。

証明終了

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