命題１
円で内接した相似な多角形は
,お互いに直径の上の正方形に比例する.
ABC
とFGHを円とし,ABCDEとFGHKLをその中に内接する相似な多角形とし,そしてBMとGNを円の直径とする.BMの上の正方形がGNの上の正方形に対するように,多角形ABCDEが多角形にFGHKLに対する.BE,AM,GL,FNを結ぶ.今,多角形ABCDEが多角形FGHKLと相似なので,そのために角BAEは角GFLと等しい.そして,BAがAEに対するように,GFがFlに対する.そして,BAEとGFLが対応しているので,角BAEが角GFLと等しくなる.よって,三角形ABEが三角形FGLと等角となる.なぜならば,等しい角をはさむ辺が比例しているからである.そのために角AEBは角FLGと等しい.けれども角AEBは角AMBと等しい.なぜなら,それらは同じ円周の上にあるからである.そして,角FLGは角FNGと等しい.そのために,角AMBは同じく角FNGと等しい.けれども,直角BAMは同じく直角GFNと等しい.そのために残っている角は残っている角と等しい.そのために三角形ABMは三角形FGNと等角である.そのために,比例するので,BMがGNに対するように,BAがGFに対する.けれども,BM の上の正方形とGNの上の正方形の比率は,BMとGNの比率の2乗となる.そのために,BM の上の正方形がGNの上の正方形に対するように,多角形ABCDEが多角形FGHKに対する.よって,円で内接した相似な多角形は,お互いに直径の上の正方形に比例する.証明終了