命題１３
もし円柱が
,その反対側の平行な平面によって,切られるならば,円柱が円柱に対するように,軸が軸に対する.
円柱
ADを対面する平行な平面ABとCDを平行な平面によって切られたとする.平面GHが点Kと軸において交わるとする.円柱BGがGDに対するように,軸EKが軸KFに対することを求める.軸EFが前後に点ＬとＭまで延長し,軸EKと等しい任意の数EN,NLが,FKに等しい任意の数FO,OMが作らたとする.円PQと円VWを底面とする,軸LMの上に円柱PWをつくる.点ＮとＯを通るABとCD炉,そして円柱PWの底面と平行な平面がつくられ,N,Oを中心とする円RS,TUをつくる.そして,軸LN,NE,EKが互いに等しいので,円柱QR,RB,BGがそれらの底面と等しくなる.そして,底面はベースはそれぞれ等しい.そのために,円柱QR,RB,BGは同じく互いに等しい.よって,軸LN,NE,EKは互いに等しい.そして,円柱QR,RB,BGは同じく,互いに等しい.そして,前者は後者と等しい.そのために,軸KLが軸EKに対する倍率は,円柱QGが円柱GBに対する倍率と等しい.同じ理由のために,軸MKが軸KFに対する倍率は,円柱WGが円柱GDに対する倍率と等しい.そして,もし軸KLが軸KMと等しいならば,円柱QGは同じく円柱GWと等しい.もし軸が軸より大きいなら場,円柱は円柱より同じくより大きくなり,そして,もし小さかったら,小さくなる.４つの大きさ,軸EKとKFと円柱BGとGDは,軸EKと円柱BGの同じ倍数となる.すなわち,軸LKと円柱QGが,または軸KFと円柱GDと,または軸KMと円柱GWの回数倍,つまり,軸KMと円柱GWとが取られ,そして,もし軸KLが軸KMより大きくなると,円柱QGが同じく円柱GWより大きくなる.そして,もし等しかったら,等しくなり,小さかったら,小さくなる.そのために,軸EKが軸KFに対するように,円柱BGが円柱GDにたいする.よって,もし円柱が,その反対側の平行な平面によって,切られるならば,円柱が円柱に対するように,軸が軸に対する.証明完了