命題１５
等しい円錐と円柱で底面は相互に高さに比例する。そして底面が相互に高さに反比例しているそれらの円錐と円柱は等しい。
円
ABCD と EFGH を底面とし， ＡＣと EG を底面の直径にする、そして，同じ円錐または円柱の高さである KL と MNを軸とし、円柱 AO と EP が完結されたとする。円柱
AO とＥＰの底面は相互に高さに反比例している。すなわち、高さ MN が高さ KL に対するように、底面 ABCD は底面 EFGH に対する。高さ LK は高さ MN と等しいか、あるいは等しくないかである。.まず等しくさせておく。今円柱 AO は同じく円柱ＥＰに等しい。けれども、同じ高さの円錐と円柱が互いに底面に比例するので，底面 ABCD が底面 EFGH に等しいそれゆえに、相互に、高さ MN が高さ KL に対するように、底面 ABCD は底面EFGH に対する。次に、高さ
LK に MN に等しくなく、そして MN を大きくする。KL と等しい高さ MN から QN を切り取る。点Ｑを通過して円柱ＥＰに円 EFGH と RP の平面に平行している平面 TUS によって切りとる。円 EFGH を底面とし，高さをNQとする円柱 ES をつくる。今、円柱 AO が円柱ＥＰに等しいので、そのために、円柱ＥＰが円柱 ES に対するように、円柱 AO は円柱 ES に対する。.けれども円柱 AO と ES が同じ高さのであるから、底面 ABCD が底面 EFGH に対するように、円柱 AO は円柱 ES に対する。そして、高さ MN が高さ QN に対するように、円柱ＥＰは円柱 ES に対する.なぜなら円柱ＥＰはその反対側の底面に平行している底面によって切られているからである。.そのために、高さ MN が高さ QN に対するように、底面 ABCD は底面 EFGH に対する。けれども高さ QN は高さ KL に等しい、そのために、高さ MN が高さ KL に対するように、底面 ABCD は底面 EFGH に対する。そのために円柱AO とＥＰの底面は相互に高さに比例している。次に、円柱で
AO と EP の底面が高さに反比例して、底面 ABCD が底面 EFGH に対するように、高さ MN に高さ KL 対するようにする。円柱 AO が円柱ＥＰに等しいとする。同じ作図をしたときに、底面
ABCD が底面 EFGH に対するので，高さ MN が高さ KL へ、そして高さ KL が高さ QN に等しいから,そのために、高さ MN が高さ QN に対するように、底面 ABCD は底面 EFGH に対する。.けれども、円柱 AO が円柱 ES に対するように、底面 ABCD は底面 EFGH に対する、なぜなら，それらは同じ高さを持っていりからである。そして、円柱ＥＰが円柱 ES に対するように、高さ MN は QN に対する。そのために、円柱ＥＰが円柱 ES に対するように、円柱 AO は円柱 ES に対する。そのために円柱
AO は円柱ＥＰに等しい。そして同じが同じく円錐についても正しい。よって，等しい円錐と円柱で底面は相互に高さに比例する。そして底面が相互に高さに反比例しているそれらの円錐と円柱は等しい。証明終了