命題１８
球はお互いにそれぞれの直径の
3乗の比率となる。
球ＡＢＣと
DEF があり、そして BC と EF をそれらの直径とする。球ＡＢＣは球DEFに対し BC が EF に対するように3乗の比率となる.もし球ＡＢＣが球
DEFに対し,、BC が EF に対するように3乗の比率とならないならば，球ＡＢＣは球DEFに対して，BC が EF に対するように3乗より小さいか，あるいは大きい比率となるであろう。最初に、円 GHK より小さい比率とする。DEF
とGHK が同じ中心であるようにする。より大きい球 DEF がその表面において，より小さい球 GHK に接しない多面体を内接させる。同じく，球ABCにも球DEFの中にある多面体に相似な多面体が内接するとする. そのためにＡＢＣの中で内接する多面体はDEFの中で内接する多面体に対して BC が EF に対する3乗の比率となる。 しかし，球ＡＢＣが球GHKに対して BC が EF に対する3乗の比率となる，そのため，球ABCが球GHKに対するように，ＡＢＣの中で内接する多面体がDEFの中で内接する多面体に対する.いれかえると，球ABCがＡＢＣの中で内接する多面体に対するように，球GHKがDEFの中で内接する多面体に対する.しかし，球ABCはＡＢＣの中で内接する多面体より大きい.それゆえに，球GHKもまた，DEFの中で内接する多面体より大きい.しかし，小さくもある.なぜならば，それに含まれるからである. そのために球ＡＢＣが球DEFより小さいものに対して，直径BCがEFに対する3乗の比率とはならない. 同様に球DEFも球ABCより小さいものに対して,EFがBCに対する3乗の比率とはならないことを証明することができる.次に球
ABC が球DEFよりすべて大きくなる，BCがEFに対する3乗の比率があったとする. なぜなら、もし可能であるなら、LMNより大きな比率があることになる.そのために、逆に，球
LMN は球ＡＢＣに対して，直径 EF が直径 BC に対する3乗の比率となる. けれども、 LMN が DEF より大きいので、そのために前に証明したように，球 LMNが 球ＡＢＣに対するように，球DEFは球ABCより小さなものに対する。そのために球
DEFもまた，球ABCより小さなものに対して，EFがBCに対する3乗の比率となる.これは，不可能であると証明された。そのために球ABC球DEFより大きいすべての球に対して,BCがEFに対する3乗の比率とならない。けれどもまた、より少し球にそれがその比率を持っていることは証明された。そのために球ＡＢＣは球DEFに対して，BCがEFに対する3乗の比率となる。ゆえに、球はお互いにそれぞれの直径の3乗の比率となる。証明終了