命題７
三角形を底面とする
,どんな角柱は,三角形を底面とする互いに等しい３つの角錐に分けられる.
底面を三角形
ABCとし,対面をDEFとする角柱があったとする.角柱ABCDEFが互いに等しい,三角形を底面とする３つの角錐に分けられることを求める.BD,EC,CDを結ぶ.ABEDは平行四辺形である.そして,BDがその対角線であるので,そのために三角形ABDは,三角形EBDと等しい.そのために,三角形ABDを底面とし,点Cを頂点とする角錐も,三角形DEBを底面とし,点Cを頂点とする角錐に等しい.なぜなら,それらは同じ平面に含まれているからである。そのために,三角形ABDを底面とし,点Ｃを頂点とする角柱は,同じく三角形EBCを底面とし,点Dを頂点とする角錐と等しい.再び,FCBEが平行四辺形である.そして,CEがその対角線であるので,そのために三角形CEF は三角形CBEと等しい.そのために,三角形BCEを底面とし,点Ｄを頂点とする角錐は,三角形ECFを底面とし点Dを頂点とする角錐に等しい.しかし,三角形BCEを底面とし点Ｄを頂点とする角錐は,三角形ABDを底面とし,点Cを頂点とする角錐と等しいと証明された.そのために,三角形CEFを底面とし,点Dを頂点とする角錐は,三角形ABDを底面とし,点Cを頂点とする角錐と等しい.そのために,角柱ABCDEFは三角形を底面とする互いに等しい３つのピラミッドに分けられる.そして,同じ平面に含まれるので,三角形ABDを底面とし,点Cを頂点とする角錐は三角形CABを底面とし,点Dを頂点とする角錐と等しい.なぜなら,三角形ABDを底面とし,点Ｃを頂点とする角錐は,三角形ABCを底面とし,DEFを対面とする角柱の３分の１であることは証明された.そのために,三角形ABCを底面とし,点Dを頂点とする角錐は,三角形ABCを底面とし,DEFを対面とする角柱の３分の１である.三角形を底面とする,どんな角柱は,三角形を底面とする互いに等しい３つの角錐に分けられる.証明終了