命題６
多角形を底面とし
,同じ高さの角錐は,それらの底辺に比例する.
多角形
ABCDEとFGHKLを底面とし,点ＭとＮを頂点とする,同じ高さの角錐があったとする.底面ABCDEが底面FGHKLに対するように,角錐ABCDEMが角錐FGHKLNに対するとする.AC,AD,FH,FKを結ぶ.すると,ABCMとACDMは,三角形を底面とし,等しい高さを持っている２つの角錐なので,それぞれ底面に比例する.そのために,底面ABCが底面ACDに対するように,角錐ABCMが角錐ACDMに対する.そして,合比により,底面ABCDが底面ACDに対するように,角錐ABCDMが角錐ACDMに対するけれども,底面ACDが底面ADEに対するように,角錐ACDMが角錐ADEMに対する.そのために,等間隔比により,底面ABCDが底面ADEに対するように,角錐ABCDMが角錐ADEMに対する.そして再び,合比より,底面ABCDEが底面ADEに対するように,角錐ABCDEMが角錐ADEMに対する.同様に同じく,底面FGHKLが底面FGHに対するように,角錐FGHKLNが角錐FGHNに対することは,証明することができる.そして,ADEMとFGHNが,三角形を底面とし,等しい高さを持っている２つの角錐であるので,そのために底面ADEが底面FGHに対するように,角錐ADEMが角錐FGHNに対する.けれども,底面ADEが底面ABCDEに対するように,角錐ADEMが角錐ABCDEMに対する.そのために,等間隔比より,底面ABCDEが底面FGHに対するように,角錐ABCDEMが角錐FGHNに対する.けれども,底面FGHが底面FGHKLに対するように,角錐FGHNが角錐FGHKLNに対する.そのために同じく,等間隔比より,底面ABCDEが底面FGHKLに対するように,角錐ABCDEMが角錐FGHKLNに対する.よって,多角形を底面とし,同じ高さの角錐は,それらの底辺に比例する.証明終了