命題９
三角形を底辺とする等しい角錐は
,相互に高さに反比例している.そして三角形を底辺とする角錐が相互に高さに反比例しているなら,それらは等しい.
底面を三角形
ABCとDEFとし,点ＧとＨを頂点とする等しい角錐があったとする.角錐ABCGとDEFHの底面が相互に高さが比例しているとする.すなわち,底面ABCが底面DEFに対するように,角錐DEFHの高さが角錐ABCGの高さに対する.正六面体BGMLとEHQPを完結させる.角錐ABCGが角錐DEFHと等しい.そして立体BGMLが角錐ABCGの６倍である.そして,六面体EHQPは角錐DEFHの６倍であるから,六面体BGMLは六面体EHQPと等しい.けれども,平行六面体の底面は相互に高さに比例している.そのために,底面BMが底面EQに対するように,六面体EHQP の高さが六面体BGMLの高さに対する.けれども,底面BMが底面EQに対するように,三角形ABCが三角形DEFに対する.そのために,三角形ABCが三角形DEFに対するように,六面体EHQPの高さが,六面体BGMLの高さに対する.けれども,六面体EHQPの高さは,六面体DEFHの高さと等しい.そして,六面体BGMLの高さは六面体ABCGの高さと等しい.そのために,底面ABCが底面DEFに対するように,角錐DEFHの高さが角錐ABCGの高さに対する.そのために,角錐ABCGと角錐DEFHの底面は相互に高さに比例している.次に,角錐ABCGと角錐DEFHの底面が高さに比例し,底面ABCが底面DEFに対するように,角錐DEFHの高さが角錐ABCGの高さに対するとする.すると,角錐ABCGが角錐DEFHと等しいとする.同じ作図で,底面ABCが底面DEFに対するように,角錐DEFHの高さが角錐ABCGの高さに対し,も一つの底面であるABCがDEFに対するように,平行四辺形BMが平行四辺形EQに対するから,平行四辺形BMが平行四辺形EQに対するように,角錐DEFHが角錐ABCGの高さに対する.けれども,角錐DEFHの高さは,正六面体EHQPの高さと等しい.そして,角錐ABCGの高さは,正六面体BGMLの高さと等しい.そのために,底面BMが底面EQに対するように,正六面体EHQPの高さが正六面体BGMLの高さに対する.けれども,底面が相互に高さに比例しているそれらの正六面体は等しい.そのために,正六面体BGMLは正六面体EHQPと等しい.そして,角錐ABCGは正六面体BGMLの６分の１であり,角錐DEFHは角錐EHQPの６分の１である.そのために,角錐ABCGは角錐DEFHと等しい.よって,三角形を底辺とする等しい角錐は,相互に高さに反比例している.そして三角形を底辺とする角錐が相互に高さに反比例しているなら,それらは等しい.証明終了