命題１２
もし正三角形が円に内接するならば、三角形の一辺の正方形は円の半径上の正方形の
3倍である。
ABC
は円であり,正三角形ABCはそれに内接しているとする。三角形ABCの一辺上の正方形は円の半径上の正方形の三倍であることをいう。 円ABCの中心Ｄをおく。ADを結び,Eを通るようにおく。BEを結ぶ。 そのとき、三角形ABCは正三角形であるので、円周BECは円ABCの円周の3分の1である。従って円周BEは円の円周の6分の1である。従って、線分BEは6角形に属する。従ってそれは半径DEに等しい。 また、AEはDEの2倍であるのでAE上の正方形はED上の正方形の4倍である。つまり、BE上の正方形の4倍である。 ところが、AE上の正方形はABとBE上の正方形の和に等しい。 従ってABとBEの正方形の和はBE上の正方形の和の4倍である。従ってAB上の正方形はBE上の正方形の3倍である。ところが、BEはDEに等しい。よってAB上の正方形はDE上の正方形の3倍である。 従って、三角形の1辺上の正方形は半径上の正方形の3倍である。 従って、もし正三角形が円に内接するならば、三角形の一辺の正方形は円の半径上の正方形の3倍である。証明終了