命題１３
角錐を作り
,所定の球でそれを囲み,そして球の直径の上の正方形が角錐の辺の上の正方形の２分の３となる.
所定の球の直径を
AB とし,ＡＣが CB の２倍であるように,点Ｃにおいてそれを切って、AB の上に半円形ＡＤＢを作り,点CからABに直角をなすように,CDを引いて、そしてＤＡが結ばれたとする.ＤＣと等しい半径である円 EFG を書き,円 EFG で等辺三角形 EFG が内接するとする.そして,円の中心Hをとって、そして EH,HF,HG が結ばれたとする.そして,点Hから直角をなすように円 EFG の面まで HK を引き, HK から直線ACと等しくHKを切断して,そしてKE,KF,KG が結ばれたとする.今,KH が円EFGの面に直角をなすので,そのためにそれはそれを満たして、そして円 EFG の平面にあるすべての直線に対して直角となる.しかし,直線HE,HF,HG はそれぞれ,それを満たしている.そのためにHKは直線HE,HF,HGに直角をなす.そして、ACがHKと等しく,CDはHEと等しく,それらは直角をはさんでいるから,底辺DAは底辺KEと等しい.同じ理由のために直線KFとKGのそれぞれが,同じくDAと等しい.そのために３つの直線KE,KFKG,はお互いに等しい.そしてACがCBの２倍である.そして,ABがBCの３倍である.けれども,ABがBCに対するように,AD の上の正方形がDCの上の正方形に対することは,その後証明されるであろう.そのために AD の上の正方形はDCの上の正方形の３倍である.けれども FE の上の正方形は同じくEHの上の正方形の３倍である.そしてDCがEHと等しい.そのためにDAは同じくEFと等しい.けれどもDAは直線KE,KF,KGのそれぞれと等しいと証明された.そのために直線EF,FG,GEのそれぞれが同じく直線KE,KF,KGと等しい.そのために４つの三角形EFG,KEF,KFG,KEGは等辺である.そのために角錐が４つの等辺の三角形から作られ,三角形EFGがその底面となり,点Kが頂点となる.次にそれを所定の球で囲み,そして球の直径の上の正方形が角錐の辺の上の正方形の２分の３であることを証明する.直線KHが直線HLと一つの直線とし,そしてHLをCBと等しくさせる.今,ACがCDに対するように,CDがCBと等しく,ACはKHと等しく,CDがHEと等しく,そしてCBが HLと等しいから,KHがHEに対するように,EHがHLに対する.そのために矩形HL,KH は,EH の上の正方形と等しい.そして角KHE,EHLはそれぞれ直角である.そのためにKL上に書かれた半円はEもとおる.よって,もしKLを固定して,半円を回転させて,その動き始めたところに戻るとするならば,点F,Gも通るであろう.なぜなら,KH がACと等しく,HLがCBと等しいから,球の直径KLは,所定の球の直径ABと等しいからである.次に,球の直径の上の正方形が角錐の辺の上の正方形の２分の３に等しいことを証明するACがCBの２倍であるから,そのためにABはBCの三倍となる.そのため,言いかえると,BAはACの２分の３倍となる.けれども,BAがACに対するように,BA の上の正方形が,ADの上の正方形に対する.そのために,BA の上の正方形は同じくADの上の正方形の２分の３倍である.そして BA は所定の球の直径であり,そしてADは角錐の辺と等しい.よって,角錐を作り,所定の球でそれを囲み,そして球の直径の上の正方形が角錐の辺の上の正方形の２分の３となる.
補助定理
AB
がBCに対するように,AD の上の正方形がDCの上の正方形に対することを証明する.半円形のを作図し,DBが結ばれ,ACの上に正方形ECを記述して,そして矩形FBを作る.三角形DABが三角形DACと等角であるので、そのためにBAがADに対するように,DAがACに対する.そのために,矩形BA,ACはAD の上の正方形と等しい.そして,ABがBCに対するように, EB が BFと等しく,EAがACと等しいから,EBは矩形BA,ACと等しく,BFは矩形AC,CBと等しい.そのために,ABがBCに対するように,矩形BA,ACが矩形AC,CBに対する.そして,矩形BA,ACはAD の上の正方形と等しい.そして,矩形BA,ACはDcの上の正方形と等しい.なぜなら,角ADBが垂直であるから,垂線DCは底辺ACとCBの二つを,一定の比率で分けているからである.そのために,ABがBCに対するように,AD の上の正方形がDCの上の正方形に対する.証明終了