命題１
「２つの線分があり、それらのうちの１つが、任意個の部分に分けられるならば、２つの線分によって囲まれている長方形は、分けられてない線分と部分のおのおのによって囲まれている長方形と等しい。」
２つの線分をＡ、ＢＣとし、ＢＣを任意に点Ｄ、Ｅで分けられるとせよ。
Ａ、ＢＣに囲まれている長方形は、Ａ、ＢＤに囲まれている長方形とＡ、ＤＥに囲まれている長方形とＡ、ＥＣに囲まれている長方形の和と等しいことをいう。
ＢからＢＣに対して直角にＢＦをひきなさい。ＢＧをＡと等しくさせなさい。Ｇを通って、ＢＣと平行なＧＨをひきなさい。Ｄ、Ｅ、Ｃを通って、ＢＧと平行なＤＫ、ＥＬ、ＣＨをひきなさい。命題Ⅰ．11，命題Ⅰ．３
そのとき、ＢＨはＢＫとＤＬとＥＨの和と等しい。
いま、ＢＨはＡ、ＢＣに囲まれている長方形である。なぜなら、それはＧＢ、ＢＣによって囲まれていて、ＢＧはＡと等しい。ＢＫはＡ、ＢＤに囲まれている長方形である。なぜなら、それはＧＢ、ＢＤによって囲まれていて、ＢＧはＡと等しい。ＤＬはＡ、ＤＥに囲まれている長方形である。なぜなら、ＤＫ、つまりＢＧはＡと等しい。同様にＥＨもＡ、ＥＣに囲まれている長方形である。命題Ⅰ．34
それゆえ、Ａ、ＢＣに囲まれている長方形は、Ａ、ＢＤに囲まれている長方形とＡ、ＤＥに囲まれている長方形とＡ、ＥＣに囲まれている長方形の和と等しい。
それゆえ、２つの線分があり、それらのうちの１つが、任意個の部分に分けられるならば、２つの線分によって囲まれている長方形は、分けられてない線分と部分のおのおのによって囲まれている長方形と等しい。
証明終了