命題２２
「円に内接する四角形の対角の和は２直角と等しい。」
円をＡＢＣＤとし、それに内接する四角形をＡＢＣＤとせよ。
対角の和は２直角と等しいことをいう。
ＡＣ、ＢＤを結びなさい。
そのとき、任意の三角形で３角の和は２直角と等しいので、三角形ＡＢＣの角ＣＡＢ、ＡＢＣ、ＢＣＡの和は２直角と等しい。命題Ⅰ．32
しかし、角ＣＡＢは角ＢＤＣと等しい。なぜなら、それらは同じ切片ＢＡＤＣ内にある。そして、角ＡＣＢは角ＡＤＢと等しい。なぜなら、それらは同じ切片ＡＤＣＢ内にある。それゆえ、角ＡＤＣ全体は角ＢＡＣとＡＣＢの和と等しい。命題Ⅲ．21
おのおのに角ＡＢＣを加えなさい。それゆえ、角ＡＢＣ、ＢＡＣ、ＡＣＢの和は角ＡＢＣ、ＡＤＣの和と等しい。しかし、角ＡＢＣ、ＢＡＣ、ＡＣＢの和は２直角と等しいので、角ＡＢＣ、ＡＤＣの和も２直角と等しい。
同様にして、角ＢＡＤとＤＣＢの和も２直角と等しいことが証明できる。
それゆえ、円に内接する四角形の対角の和は２直角と等しい。
証明終了