命題３２
「任意の三角形で、辺のうちの１つが延長されるならば、外角は２つの内対角の和と等しく、三角形の３つの内角の和は２直角と等しい。」
三角形をＡＢＣとし、そのうちのＤに延長される１辺をＢＣとせよ。
外角ＡＣＤは２つの内対角ＣＡＢとＡＢＣの和と等しく、三角形ＡＢＣの３つの内角ＡＢＣとＢＣＡとＣＡＢの和は２直角と等しいことをいう。
点Ｃを通り直線ＡＢと平行なＣＥをひきなさい。命題Ⅰ．31
ＡＢはＣＤと平行で、ＡＣはそれらと交わっているので、錯角ＢＡＣとＡＣＥは互いに等しい。命題Ⅰ．29
また、ＡＢはＣＥと平行で、直線ＢＤはそれらと交わっているので、外角ＥＣＤは内対角ＡＢＣと等しい。命題Ⅰ．29
しかし、角ＡＣＥも角ＢＡＣと等しいことが証明されていた。それゆえ、角ＡＣＤ全体は内対角ＢＡＣ、ＡＢＣの和と等しい。
おのおのに角ＡＣＢを加えなさい。そのとき、角ＡＣＤ、ＡＣＢの和は３つの角ＡＢＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢの和と等しい。
しかし、角ＡＣＤ、ＡＣＢの和は２直角と等しい。それゆえ、３つの角ＡＢＣ、ＢＣＡ、ＣＡＢの和も２直角と等しい。命題Ⅰ．13
それゆえ、任意の三角形で、辺のうちの１つが延長されるならば、外角は２つの内対角の和と等しく、三角形の３つの内角の和は２直角と等しい。
証明終了