定義1

第6巻

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第6巻の内容

定義(4)

命題(33)

定義

定義1 相似な直線の図形は、それらの角がそれぞれ等しく、等しい角のまわりの辺が比例するものである。

定義2 2つの形は対応した角の辺が相互的に比例しているとき、相互的に関係している。

定義3 直線は、全体が大きい区分に対するように、大きい区分が小さい区分に対するとき、外中比に切られたといわれる。

定義4 すべての図形の高さは頂点から底辺に引かれた垂線である。

 

命題

命題1 同じ高さの下にある三角形と平行四辺形は、互いに対してそれらの底辺と比例する。

命題2 直線が三角形の1辺に平行に引かれるならば、それは三角形の2辺を比例するように分ける。三角形の2辺が比例するように分けられるならば、切り取られた部分の点を結ぶ線は三角形の残りの1辺に平行である。

命題3 三角形の1つの角が底辺を切っている直線で二等分されるならば、底辺の線分は、三角形の残りの辺と同じ比を持ち、また、底辺の線分が三角形の残りの辺と同じ比を持つならば、頂点と区分する点を結ぶ直線は三角形の角を二等分する。

命題4 対応する角の等しい三角形において等しい角をはさむ辺は等しい角に対する辺が対応する場合に比例している。

命題5 もし2つの三角形が比例した辺を持っているならば、その三角形は、対応する辺に向かい合った等しい角があって、等角である。

命題6 2つの三角形が1つの角と等しい1つの角を持ち、等しい角のまわりの辺が比例しているならば、三角形は対応する角が等しく、対応する辺に対する等しい角をもつ。

命題7 もし2つの三角形が1つの角が1つの角に等しく、他の角のまわりの辺が比例で、残りの角が共に直角より小さいか、共に小さくなければ、三角形は対応する角が等しくて、比例する辺のまわりに等しい角を持っている。

命題8 直角三角形において、垂線が直角から底辺に引かれるならば、垂線に接する三角形は全体にも互いにも相似である。

命題9 与えられた線分から定められた部分に切ること。

命題10 与えられた切り取られていない直線を与えられた切り取られた直線と相似であるように切り取ること。

命題11 与えられた2本の線分に対し、第3の比例項をみつけること。

命題12 与えられた3つの直線に対し第4の比例項を見つけること。

命題13 与えられた2本の線分に対し、中間の比例項をみつけること。

命題14 等しく対応する角が等しい平行四辺形において、等しい角のまわりの辺は逆に比例している。等しい角のまわりの辺が逆に比例している対応する角が等しい平行四辺形は等しい。

命題15 1つの角に等しい角を持っている等しい三角形において、等しい角のまわりの辺は相互に比例する。そして、1つの角に等しい角を持ち、等しい角のまわりの辺は相互に比例する三角形は等しい。

命題16 4つの直線が比例しているならば、外項に囲まれた長方形は内項に囲まれた長方形と等しい。外項に囲まれた長方形が内項に囲まれた長方形と等しいならば、4つの直線は比例している。

命題17 もし3本の線分が比例するならば、そのとき、外項によって囲まれた長方形は中項による正方形と等しい。そして、外項によって囲まれた長方形が、中項による正方形と等しいならば、そのとき、3本の線分は比例する。

命題18 与えられた直線上に与えられた直線図形に相似で相似な位置にある直線図形を描くこと。

命題19 相似な三角形は互いに対して対応する辺の2乗の比である。

命題20 相似な多角形は同数で相似な三角形、しかも全体と同じ比の三角形に分割される。そして、多角形は対応している辺が対応している辺に対する比の2乗比を持つ。

命題21 同じ直線図形に相似な図形は、また互いに相似である。

命題22 4つの直線が比例しているならば、それらの直線上において相似で、相似な位置に描かれた直線図形もまた比例している。そして、直線上に相似で、相似な位置に描かれた直線図形が比例しているならば、それらの直線もまた比例している。

命題23 対応する角が等しい平行四辺形は、互いにそれらの辺の比の複比を持つ。

命題24 任意の平行四辺形において、直径のまわりの平行四辺形は全体に対しても互いに対しても相似である。

命題25 1つの与えられた直線図形に相似で、他の図形に等しい図形を作ること。

命題26 平行四辺形から、全体と相似で相似な位置にあり、全体と共通の角を持つ平行四辺形を切り取るならば、それは全体と同じ直径(対角線)のまわりにある。

命題27 1つの線分の半分の上に描かれた平行四辺形に相似で、相似な位置にある平行四辺形だけ不足している同じ線分に作られた平行四辺形のうち、その線分の半分に作られた相違部分に相似である平行四辺形が最大である。

命題28 与えられた直線に対して、与えられた直線図形と等しい、与えられた平行四辺形と相似である平行四辺形だけ欠けている平行四辺形をつくること。このように、与えられた直線図形が、与えられた直線の半分に描かれて、欠けた部分と相似である平行四辺形より大きくあってはならない。

命題29 与えられた線分に与えられた直線図形に等しく、与えられた平行四辺形に相似な平行四辺形だけ超過する平行四辺形を作ること。

命題30 与えられた有限な直線を外中比に切り取ること。

命題31 直角三角形において、直角に対する辺の上の図形は、直角を含んでいる辺の上に相似で、相似な位置に描かれた図形の和に等しい。

命題32 2辺が2辺に比例している2つの三角形が1つの角によって結ばれ、それらの対応する辺もまた平行であるならば、三角形の余りの辺は一直線である。

命題33 等しい円における角は、角が中心か円周のどちらで立っていてもその角が立っている円周と同じ比を持つ。


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