命題１２
「与えられた無限直線にその上にない点から垂直に直線をひくこと」
与えられた無限直線をＡＢとし、その上にない与えられた点をＣとせよ。
線分ＡＢの他の側に任意の点Ｄをとりなさい。中心Ｃ、半径ＣＤをもつ円ＥＦＧを描きなさい。Ｈで線分ＥＧを２等分し、線分ＣＧ、ＣＨ、ＣＥを結びなさい。公準Ⅰ．３，命題Ⅰ．10，公準Ⅰ．１
ＣＨが与えられた無限直線ＡＢにその上にない点Ｃから垂直にひかれることをいう。
ＧＨがＨＥと等しく、ＨＣが共通なので、２辺ＧＨ、ＨＣが２辺ＥＨ、ＨＣとそれぞれ等しい。また底辺ＣＧは底辺ＣＥと等しい。それゆえ、角ＣＨＧが角ＥＨＣと等しく、それらは接角である。定義Ⅰ．15，命題Ⅰ．８
しかし、直線が直線の上に立てられ接角を互いに等しくするとき、等しい角それぞれは直角である。また一方の上に立っているその直線はそれが立っている直線に対する垂線と呼ばれる。定義Ⅰ．10
それゆえ、ＣＨが与えられた無限直線ＡＢにその上にない点Ｃから垂直にひかれている。
作業終了