命題２０
「任意の三角形で任意の２辺の和が残りの辺より大きい。」
三角形をＡＢＣとせよ。
三角形ＡＢＣで任意の２辺の和が残りの辺より大きい、つまりＢＡとＡＣの和がＢＣより大きく、ＡＢとＢＣの和がＡＣより大きく、ＢＣとＣＡの和がＡＢより大きい。
点Ｄを通るＢＡをひき、ＤＡをＣＡと等しくさせ、ＤＣを結びなさい。
ＤＡはＡＣと等しいので、角ＡＤＣも角ＡＣＤと等しい。それゆえ、角ＢＣＤは角ＡＤＣより大きい。命題Ⅰ．５，共通概念Ⅰ．１
ＤＣＢは角ＢＣＤが角ＢＤＣより大きいことをもつ三角形で、大きい角に対する辺は大きいので、ＤＢはＢＣより大きい。命題Ⅰ．19
しかしＤＡはＡＣと等しいので、ＢＡとＡＣの和はＢＣより大きい。
同様にして、ＡＢとＢＣの和もＣＡより大きく、ＢＣとＣＡの和もＡＢより大きい。
すなわち、任意の三角形で任意の２辺の和が残りの辺より大きい。
証明終了