命題２１
「三角形の辺のうちの１つの端から三角形内で交わる２線分がつくれるならば、そのようにつくられた線分の和は三角形の残りの２辺の和より小さいが、つくられた線分は残りの２辺によってはさまれた角よりも大きい角をはさむ。」
三角形ＡＢＣの辺のうちの１つ、ＢＣの端ＢとＣから三角形内で交わる２線分をＢＤ、ＤＣとせよ。
ＢＤとＤＣの和が残りの２辺ＢＡとＡＣの和よりも小さいが、ＢＤとＤＣが角ＢＡＣよりも大きい角ＢＤＣをはさむことをいう。
Ｅを通るＢＤをかく。
任意の三角形で２辺の和は残りの１辺より大きいので、三角形ＡＢＥで２辺ＡＢとＡＥの和はＢＥより大きい。命題Ⅰ．20
おのおのにＥＣを加える。そのときＢＡとＡＣの和はＢＥとＥＣの和より大きい。
また、三角形ＣＥＤで２辺ＣＥとＥＤの和がＣＤより大きいので、おのおのにＤＢを加えると、ＣＥとＥＢの和はＣＤとＤＢの和より大きい。
しかし、ＢＡとＡＣの和はＢＥとＥＣの和より大きいことが証明されているので、ＢＡとＡＣの和はＢＤとＤＣの和よりかなり大きい。
また、任意の三角形で外角は内対角より大きいので、三角形ＣＤＥで外角ＢＤＣは角ＣＥＤより大きい。命題Ⅰ．16
さらに同様な理由で、三角形ＡＢＥで外角ＣＥＢは角ＢＡＣより大きい。しかし、角ＢＤＣは角ＣＥＤより大きいことが証明されているので、角ＢＤＣは角ＢＡＣよりかなり大きい。
それゆえ、三角形の辺のうちの１つの端から三角形内で交わる２線分がつくれるならば、そのようにつくられた線分の和は三角形の残りの２辺の和より小さいが、つくられた線分は残りの２辺によってはさまれた角よりも大きい角をはさむ。
証明終了