命題２８
「２つの直線と交わっている１つの直線が外角を同じ側にある内対角と等しくさせる、または同じ側にある内角の和を２直角と等しくさせるならば、その２直線は互いに平行である。」
２つの直線ＡＢ、ＣＤと交わっていて、外角ＥＧＢを内対角ＧＨＤと等しくさせる、または同じ側にある内角、すなわちＢＧＨとＧＨＤの和を２直角と等しくさせる１つの直線をＥＦとせよ。
ＡＢはＣＤと平行であることをいう。
角ＥＧＢが角ＧＨＤと等しく、角ＥＧＢが角ＡＧＨと等しいので、角ＡＧＨは角ＧＨＤと等しい。そしてそれらは錯角なので、ＡＢはＣＤと平行である。命題Ⅰ．15，命題Ⅰ．27
次に、角ＢＧＨと角ＧＨＤの和が２直角と等しく、角ＡＧＨと角ＢＧＨの和も２直角と等しいので、角ＡＧＨと角ＢＧＨの和は角ＢＧＨと角ＧＨＤの和と等しい。命題Ⅰ．13
おのおのから角ＢＧＨをひきなさい。それゆえ、残りの角ＡＧＨは残りの角ＧＨＤと等しい。そしてそれらは錯角なので、ＡＢはＣＤと平行である。命題Ⅰ．27
それゆえ、２つの直線と交わっている１つの直線が外角を同じ側にある内対角と等しくさせる、または同じ側にある内角の和を２直角と等しくさせるならば、その２直線は互いに平行である。
証明終了