命題２９

「平行線と交わっている１つの直線は錯角を互いに等しくさせ、外角を内対角と等しくさせ、同じ側にある内角の和を２直角と等しくさせる。」

平行線ＡＢ、ＣＤと交わっている直線ＥＦとせよ。

それが錯角ＡＧＨ、ＧＨＤを等しくさせ、外角ＥＧＢを内対角ＧＨＤと等しくさせ、同じ側にある内角、すなわちＢＧＨとＧＨＤの和を２直角と等しくさせることをいう。

角ＡＧＨが角ＧＨＤと等しくないならば、それらのうちの一方は大きい。大きい方を角ＡＧＨとせよ。

おのおのに角ＢＧＨを加えなさい。それゆえ、角ＡＧＨとＢＧＨの和は角ＢＧＨとＧＨＤの和より大きい。

しかし、角ＡＧＨとＢＧＨの和は２直角と等しい。それゆえ、角ＢＧＨとＧＨＤの和は２直角より小さい。命題�T．13

しかし、２直角より小さい角から無限に延ばされた直線は交わる。それゆえ、ＡＢとＣＤは無限に延ばされるならば、交わるだろう。しかし、それらは仮定によって平行であるので、交わらない。公準�T．５

それゆえ、角ＡＧＨは角ＧＨＤと等しくないことはない。ゆえに等しい。

また、角ＡＧＨは角ＥＧＢと等しい。それゆえ、角ＥＧＢも角ＧＨＤと等しい。命題�T．15，共通概念�T．１

おのおのに角ＢＧＨを加えなさい。それゆえ、角ＥＧＢとＢＧＨの和は角ＢＧＨとＧＨＤの和と等しい。

しかし、角ＥＧＢとＢＧＨの和は２直角と等しい。それゆえ、角ＢＧＨとＧＨＤの和も２直角と等しい。命題�T．13

それゆえ、平行線と交わっている１つの直線は錯角を互いに等しくさせ、外角を内対角と等しくさせ、同じ側にある内角の和を２直角と等しくさせる。

証明終了

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