命題３３
「等しく平行な直線を同じ側で結ぶ直線はそれら自身等しく平行である。」
等しく平行な直線をＡＢ、ＣＤとし、おなじ方向でそれらの端においてそれらを結んでいる直線をＡＣ、ＢＤとせよ。
ＡＣとＢＤも等しく平行であることをいう。
ＢＣを結びなさい。
ＡＢはＣＤと平行で、ＢＣはそれらと交わっているので、錯角ＡＢＣとＢＣＤは互いに等しい。命題Ⅰ．29
ＡＢはＣＤと等しく、ＢＣが共通なので、２辺ＡＢ、ＢＣは２辺ＤＣ、ＣＢとそれぞれ等しく、角ＡＢＣは角ＢＣＤと等しい。それゆえ、底辺ＡＣと底辺ＢＤと等しく、三角形ＡＢＣは三角形ＤＣＢと等しく、残りの角は残りの角とそれぞれ等しい、すなわち等しい辺に対する角は等しい。それゆえ、角ＡＣＢは角ＣＢＤと等しい。命題Ⅰ．4
２直線ＡＣ、ＢＤと交わっている直線ＢＣが錯角を互いに等しくさせるので、ＡＣはＢＤと平行である。命題Ⅰ．27
そして等しいことも証明されていた。
それゆえ、等しい端で結んでいて同じ方向で平行な直線はそれら自身等しく平行である。
証明終了