命題４６
「与えられた直線上に正方形をかくこと」
与えられた直線をＡＢとせよ。
直線ＡＢ上に正方形をかくことが要求されている。
直線ＡＢ上の点Ａから直線ＡＢと直角をなすＡＣをひきなさい。ＡＤをＡＢと等しくさせなさい。点Ｄを通り、ＡＢと平行なＣＥをひき、点Ｂを通り、ＡＤと平行なＢＥをひきなさい。命題Ⅰ．11，命題Ⅰ．31
そのとき、ＡＤＥＢは平行四辺形である。それゆえ、ＡＢはＤＥと等しく、ＡＤはＢＥと等しい。命題Ⅰ．34
しかし、ＡＢはＡＤと等しいので、４線分ＢＡ、ＡＤ、ＤＥ、ＥＢは互いに等しい。それゆえ、平行四辺形ＡＤＥＢは等辺形である。
次に、それはまた直角をなすことをいう。
直線ＡＤは平行線ＡＢ、ＤＥと交わっているので、角ＢＡＤとＡＤＥの和は２直角と等しい。命題Ⅰ．29
しかし、角ＢＡＤは直角なので、角ＡＤＥも直角である。
そして、平行四辺形で対辺と対角は互いに等しいので、対角ＡＢＥとＢＥＤのそれぞれも直角である。それゆえ、ＡＤＥＢは直角をなす。命題Ⅰ．34
そして、等辺形であることも証明されていた。
それゆえ、それは正方形で、直線ＡＢ上にかかれる。
作業終了