Lemma

長さにおいて通約可能な直線が，常に，正方形において， 通約可能と証明された時，
正方形において，通約可能な直線は常に長さにおいても通約可能ではない。
ある直線が，有理の直線で長さにおいて通約可能であるなら， それを，長さ，正方形において
通約可能で有理であるという。
長さにおいて，通約可能な直線は常に，正方形で通約可能である。 ある直線が，有利な直線において通約可能なら長さにおいて通約可能である。
それを，長さ，正方形において，通約可能で有理であるという。
有理な直線で正方形において通約可能である時， 長さにおいて通約不可能である
このとき，正方形において通約可能で有理という。

命題19

長さにおいて通約可能な有理な直線を含む長方形は有理である。

長方形ACを長さにおいて通約可能で有理な直線AB，BCを作るとする。

この長方形ACが有理であることを示す。

AB上に正方形ADを描く。正方形ADは有理である。 �T.46 �].Def.4

ABはBCと長さにおいて通約可能の時，
AB=BDゆえに，BD，BCは長さにおいて通約可能である。

BDがBCにたいするようにDAがACに対する。 �Y.1

それゆえ，DA,ACは通約可能である。 �].11

DAは有理である。それゆえ，ACも有理である。 �].Def.4

証明終了