命題３
三角形の底辺を持っているすべての角錐は
,等しく,そしてお互いに,全体に対しても類似である.そして三角形の底辺を持っている２つの角錐と,そして２つの等しい角柱に分けられる.そして２つの角柱は角錐全体の２分の１より大きい.
三角形
ABCを底辺とし,点Ｄを頂点とする角錐があったとする.角錐ABCDがお互いと等しく,底辺を三角形とする.そして互いに等しく,全体に類似している２つの角錐と２つの等しい角柱に分けられるとする.そして２つの角柱は角錐全体の半分より大きい.HEGH 、 HK 、 KL 、 LH 、 KF と FG が合流されるというＥ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、ＫとＬ．が結び付ける要点において AB,BC,CA,AD,DB,DCを二等分する点をE,F,G,H,K,LとしHE,GH,HK,KL,LH,KF,FGを結ぶ.AEがEBと等しく,そしてAHがDHと等しいので,そのためにEHはDBと平行である.同じ理由のために,HKは同じくABと平行である.そのために,HEBKは平行四辺形である.そのために,HKはEBと等しい.けれども,EBはEAと等しい.そのために,AEは同じくHKと等しい.けれども,AHも同じくHDと等しい.そのために,２つの辺EAとAHは,２つの辺KHとHDとそれぞれ等しい.そして角EAHは角KHDと等しい.そのために底辺EHは底辺KDと等しい.そのために,三角形AEHは三角形HKDと等しく,相似でもある.同じく,三角形AHGが三角形HLDと等しく,相似である.そして,２つの交わっている直線EHとHGが,同じ平面にない２つの交わっている直線KDとDLと平行していてので,そのためにそれらは等しい角を含んでいる.そのために,角EHGは角KDLと等しい.そして,２つの直線EHとHGが,それぞれ２つの直線KDとDLと等しい.そして角EHGが角KDLと等しいので,そのために底辺EGは底辺KLと等しい.そのために,三角形EHGが三角形KDLと等しく,相似でもある.同じく,三角形AEGが三角形HKLと等しく,相似である.そのために,三角形AEGを底辺とし,点Ｈを頂点とする角錐は,三角形HKLを底辺とし,点Dを頂点とする角錐と,等しく相似である.そして,三角形ADBの１辺ABとHKが平行であるから, 三角形ADBは三角形DHKと等しい.そして,三角形ADBが三角形DHKと類似である.そのために,辺も比例している.同じ理由のために,三角形DBCは同じく三角形DKLと相似である.そして三角形ADCは三角形DLHと類似である.２つの交わっている.直線BAとACが,２つの交わっている直線KHとHLと同じ平面にないので,そのためにそれらは等しい角を含んでいる.そのために,角BACは角KHLと等しい.そして,BAがACに対するように,KHがHLに対する.そのために三角形ABCは三角形HKLと類似である.そのために,三角形ABCを底辺とし,点Ｄを頂点とする角錐は,三角形HKLを底辺とし,点Ｄを頂点とする角錐と類似である.けれども三角形HKLを底辺とし,点Ｄを頂点とする角錐は,三角形AEGを底辺とし,点Hを頂点とする角錐と類似であることが証明さた.そのために,角錐AEGHと角錐HKLDが角錐ABCD全体と類似している.BFがFCと等しいので,そのために平行四辺形EBFGは三角形GFCの２倍となる.そして,もし等しい高さの２つの角柱があり,そして１つが底面を平行四辺形年,もう１つが三角形を底面とするならば,そしてもし平行四辺形が三角形の２倍であるならば,２つの角柱は等しい.そのために２つの三角形BKF,EHGと３つの平行四辺形EBFG,EBKH,HKFGに囲まれた角柱は２つ三角形GFC,HKLと３つの平行四辺形KFCL,LCGH,HKFGに囲まれた角柱と等しい.そして平行四辺形EBFGを底面とし,直線HKをそれに対する辺とする角柱は,三角形GFCを底面とし,それと対面する三角形HKLを底面とする角柱は,三角形AEGとHKLを底面とし,点ＨとＤを頂点とする角錐より,大きいことは,明らかである.なぜならば,もしEFとEKを結ぶと,平行四辺形EBFGを底面とし,直線HKをそれに対する辺とする角柱は,三角形EBFを底面とし,点Kを頂点とする角錐より,大きいからである.けれども,三角形EBFを底面とし,点Ａを頂点とする角錐は,三角形AEGを底面とし,点Ｈを頂点とする角錐と等しい.なぜならそれらは,等しく,類似な平面によって,囲まれているからである.そのため,平行四辺形EBFGを底面とし,直線HKをそれに対する辺とする角錐は,三角形AEGを底面とし,点Hを頂点とする角錐より,大きい.しかし,平行四辺形EBFGを底面とし,直線HKをそれに対する辺とする角柱は,三角形AEGを底面とし,三角形GFCをそれと対面する角柱と等しい.しかし,三角形AEGを底面とし,点Hを頂点とする角錐は,三角形GFCを底面とし,点Dを頂点とする角錐と等しい.そのために２つの角柱は三角形AEGとHKLを底面とし,点ＨとＤを頂点とする角錐より大きい.そのために三角形ABCを底面とし,点Dを頂点とする角錐は,互いに等しい２つの角錐と２つの等しい角柱に分けらた.そして２つの角柱は角錐全体の半分より大きい.よって,三角形の底辺を持っているすべての角錐は,等しく,そしてお互いに,全体に対しても類似である.そして三角形の底辺を持っている２つの角錐と,そして２つの等しい角柱に分けられる.そして２つの角柱は角錐全体の２分の１より大きい.証明終了