命題５
三角形を底辺とする同じ高さの角錐は
,それらの底面に比例する.
三角形
ABC,DEFを底面とし,点ＧとＨを頂点とする,同じ高さの角柱があったとする.底面ABCが底面DEFに対するように,角柱ABCGが角柱DEFHに対することを求める.もし,底面ABCが底面DEFに対するように,円柱ABCGが円柱DEFHに対することが違うならば,底面ABCが底面DEFに対するようように,角柱ABCGが角柱DEFHより小さいものか,あるいは大きいものに対するであろう.最初に,小さいWに対するとする.角柱DEFHをお互いと等しい,そして全体に類似している２つの角錐と,２つの等しい角柱に分けたとする.そして,２つの角柱は角錐全体の半分より大きい.そして,さらに分割することによって生じる角錐が同じく分けられたとする.そして,これを何度も繰り返したとする.角錐DEFHから,角錐DEFHと立体Wとの差より小さい,何らかの物体が残るまでするとする.それらを,議論のためにDQRSとSTUHとする.そのために,残りの,角錐DEFHの角柱は立体Wより大きくなる.同様に,そして角錐DEFGと同じ個数になるように角錐ABCDを分けたとする.そのために,底面ABCが底面DEFに対するように,角錐ABCGが角錐DEFHに対する.けれども,底面ABCが底面DEFに対するように,角錐ABCGが立体Wに対する.そのために,角錐ABCGが立体Wに対するように,角錐ABCDが角錐DEFHに対する.そのために,言いかえると,角錐ABCDがその中の角柱の和に対するように,立体Wが角柱DEFHに対する.けれども,角錐ABCGは,その中の角柱より大きい.そのために,立体Wは角柱DEFHより大きい.けれどもそれは同じく
,より少さくもある.そしてそれは,不可能である.そのために,底面ABCが底面DEFに対するように,角柱ABCGが角柱DEFHより小さい立体に対することはない.同様にまた,底面DEFが底面ABCに対するように,角柱DEFHが角柱ABCGより小さい立体に対することはない.次に,底面ABCが底面DEFに対するように,角柱ABCGが角柱DEFGより大きい立体に対することが違うことを求める.もし可能であるなら,それをより大きい立体Wに対するとする.そのために,逆に,底面DEFが底面ABCに対するように,立体Wが角柱ABCGに対する.けれども,立体Wが角錐ABCGに対するように,角錐DEFHが角錐ABCGより小さい立体に対することは,前に証明されました。そのために,底面DEFが底面ABCに対するように,角錐DEFHが角錐ABCGより小さい立体に対する.これは,不可能であることが証明された.そのために,角錐ABCGが角錐DEFHに対するように,底面ABCが底面DEFに対する.けれどもまた,それが小さい立体に対することはないことも証明された.そのために,底面ABCが底面DEFに対するように,角錐ABCGが角錐DEFHに対する.よって,三角形を底辺とする同じ高さの角錐は,それらの底面に比例する.証明終了