命題１３
「鋭角三角形で、鋭角の対辺上の正方形は鈍角をはさむ２辺の上の正方形の和より、鋭角をはさむ辺のうちの１つとこの辺に垂線が下され、この鋭角への垂線によって内部に切り取られた線分によって囲まれている長方形の２倍小さい。」
Ｂにおける角を鋭角にもつ鋭角三角形をＡＢＣとし、点ＡからＢＣに垂線ＡＤをひきなさい。
ＡＣ上の正方形はＣＢ、ＢＡ上の正方形の和よりＣＢ、ＢＤに囲まれている長方形の２倍小さいことをいう。
線分ＣＢは任意に点Ｄで分けられているので、ＣＢ、ＢＤ上の正方形の和はＣＢ、ＢＤに囲まれている長方形の２倍とＤＣ上の正方形の和と等しい。命題Ⅱ．７
おのおのにＤＡ上の正方形を加えなさい。それゆえ、ＣＢ、ＢＤ、ＤＡ上の正方形の和はＣＢ、ＢＤに囲まれている長方形の２倍とＡＤ、ＤＣ上の正方形の和と等しい。
しかし、ＡＢ上の正方形はＢＤ、ＤＡ上の正方形の和と等しい。Ｄにおける角は直角であるためＡＣ上の正方形はＡＤ、ＤＣ上の正方形の和と等しいので、ＣＢ、ＢＡ上の正方形の和はＡＣ上の正方形とＣＢ、ＢＤに囲まれている長方形の２倍の和と等しい。ゆえに、ＡＣ上の正方形はＣＢ、ＢＡ上の正方形の和よりＣＢ、ＢＤに囲まれている長方形の２倍だけ小さい。命題Ⅰ．47
それゆえ、鋭角三角形で、鋭角の対辺上の正方形は鈍角をはさむ２辺の上の正方形の和より、鋭角をはさむ辺のうちの１つとこの辺に垂線が下され、この鋭角への垂線によって内部に切り取られた線分によって囲まれている長方形の２倍小さい。
証明終了