命題１２
「鈍角三角形で、鈍角の対辺上の正方形は鈍角をはさむ２辺の上の正方形の和より、鈍角をはさむ辺のうちの１つとこの辺に垂線が下され、この鈍角への垂線によって外部に切り取られた線分によって囲まれている長方形の２倍大きい。」
角ＢＡＣを鈍角にもつ鈍角三角形をＡＢＣとし、点ＢからＣＡに垂線ＢＤをひきなさい。ＢＣ上の正方形はＢＡ、ＡＣ上の正方形の和よりＣＡ、ＡＤに囲まれている長方形の２倍大きいことをいう。
線分ＣＤは任意に点Ａで分けられているので、ＤＣ上の正方形はＣＡ、ＡＤ上の正方形とＣＡ、ＡＤに囲まれている長方形の２倍の和と等しい。命題Ⅱ．４
おのおのにＤＢ上の正方形を加えなさい。それゆえ、ＣＤ、ＤＢ上の正方形の和はＣＡ、ＡＤ、ＤＢ上の正方形とＣＡ、ＡＤに囲まれている長方形の２倍の和と等しい。
しかし、ＣＢ上の正方形はＣＤ、ＤＢ上の正方形の和と等しい。Ｄにおける角は直角であるためＡＢ上の正方形はＡＤ、ＤＢ上の正方形の和と等しいので、ＣＢ上の正方形はＣＡ、ＡＢ上の正方形とＣＡ、ＡＤに囲まれている長方形の２倍の和と等しい。ゆえに、ＣＢ上の正方形はＣＡ上の正方形よりＣＡ、ＡＤに囲まれている長方形の２倍大きい。命題Ⅰ．47
それゆえ、鈍角三角形で、鈍角の対辺上の正方形は鈍角をはさむ２辺の上の正方形の和より、鈍角をはさむ辺のうちの１つとこの辺に垂線が下され、この鈍角への垂線によって外部に切り取られた線分によって囲まれている長方形の２倍大きい。
証明終了