命題３
「線分が任意に分けられるならば、全体と分けられた部分のうちの１つによって囲まれている長方形は２つの部分によって囲まれている長方形と先にいわれた部分の上の正方形の和と等しい。」
点Ｃで任意に分けられた線分をＡＢとせよ。
ＡＢ、ＢＣに囲まれている長方形はＡＣ、ＣＢに囲まれている長方形とＢＣ上の正方形の和と等しい。
ＣＢ上に正方形ＣＤＥＢをかき、Ｆを通って、ＣＤ、ＢＥのどちらかと平行なＥＤをひきなさい。命題Ⅰ．46，命題Ⅰ．31
そのとき、ＡＥはＡＤとＣＥの和と等しい。
いま、ＡＥはＡＢ、ＢＣに囲まれている長方形である。なぜなら、それはＡＢ、ＢＥによって囲まれていて、ＢＥはＢＣと等しい。そして、ＡＤはＡＣ、ＣＢに囲まれている長方形である。なぜなら、ＤＣはＣＢと等しく、ＤＢはＣＢ上の正方形である。
それゆえ、ＡＢ、ＢＣに囲まれている長方形はＡＣ、ＣＢに囲まれている長方形とＢＣ上の正方形の和と等しい。
それゆえ、線分が任意に分けられるならば、全体と分けられた部分のうちの１つによって囲まれている長方形は２つの部分によって囲まれている長方形と先にいわれた部分の上の正方形の和と等しい。
証明終了