命題１０
「円は円と２つ以上の点で交わらない。」
可能ならば、円ＡＢＣは円ＤＥＦと２つ以上の点、すなわちＢ、Ｇ、Ｆ、Ｈで交わるとせよ。
ＢＨ、ＢＧを結び、点Ｋ、Ｌでそれらを２等分しなさい。Ｋ、ＬからＢＨ、ＢＧに対して直角にＫＣ、ＬＭをひき、点Ａ、Ｅまで延長しなさい。
そのとき、円ＡＢＣで線分ＡＣは線分ＢＨを直角に２等分し、円ＡＢＣの中心はＡＣ上にある。また、同じ円ＡＢＣで線分ＮＯは線分ＢＧを直角に２等分し、円ＡＢＣの中心はＮＯ上にある。系Ⅲ．１
しかし、ＡＣ上にあることも証明されていた。そして、線分ＡＣ、ＮＯはＰ以外で交わらない。それゆえ、点Ｐは円ＡＢＣの中心である。
同様にして、Ｐはまた円ＤＥＦの中心であることも証明することができる。それゆえ、互いに交わっている２円ＡＢＣ、ＤＥＦは同じ中心Ｐをもつが、不可能である。命題Ⅲ．５
それゆえ、円は円と２つ以上の点で交わらない。
証明終了