命題５
「２円が互いに交わるならば、それらは同じ中心をもたない。」
Ｂ、Ｃで互いに交わっている円をＡＢＣ、ＣＤＧとせよ。
それらは同じ中心をもたないことをいう。
もし可能ならば、同じ中心をＥとせよ。ＥＣを結び、任意にＥＦＧをひきなさい。
そのとき、点Ｅが円ＡＢＣの中心なので、ＥＣはＥＦと等しい。また、点Ｅが円ＣＤＧの中心なので、ＥＣはＥＧと等しい。定義Ⅰ．15
しかし、ＥＣはＥＦと等しいことも証明されていた。それゆえ、ＥＦもＥＧと等しく、小さいほうは大きいほうと等しくなるが、不可能である。
それゆえ、点Ｅは円ＡＢＣ、ＣＤＧの中心ではない。
それゆえ、２円が互いに交わるならば、それらは同じ中心をもたない。
証明終了