命題１２
「２円が外側で互いに交わるならば、それらの中心を結ぶ線分は接点を通る。」
２円ＡＢＣ、ＡＤＥが点Ａで外側で交わっているとせよ。ＡＢＣの中心Ｆ、ＡＤＥの中心Ｇをとりなさい。
ＦからＧまで結んだ線分は接点Ａを通ることをいう。
そうでないと仮定して、可能ならば、ＦＣＤＧのようになるとし、ＡＦ、ＡＧを結びなさい。
そのとき、点Ｆは円ＡＢＣの中心なので、ＦＡはＦＣと等しい。
また、点Ｇは円ＡＤＥの中心なので、ＧＡはＧＤと等しい。
しかし、ＦＡはＦＣと等しいことも証明されていた。それゆえ、ＦＡ、ＡＧはＦＣ、ＧＤと等しい。ゆえに、ＦＧ全体はＦＡ、ＡＧより大きく、それはまた小さくなるが、不可能である。命題Ⅰ．20
それゆえ、ＦからＧまで結んだ線分は決して接点Ａを通らないことはない。それゆえ、それはＡを通る。
それゆえ、２円が外側で互いに交わるならば、それらの中心を結ぶ線分は接点を通る。
証明終了