命題１４
「円で等しい弦は中心から等しい距離であり、中心から等しい距離にある弦は互いに等しい。」
円ＡＢＤＣで等しい弦をＡＢ、ＣＤとせよ。
ＡＢ、ＣＤは中心から等しい距離であることをいう。
円ＡＢＤＣの中心Ｅをとりなさい。ＥからＡＢ、ＣＤに垂直にＥＦ、ＥＧをひき、ＡＥ、ＥＣを結びなさい。命題Ⅲ．１
そのとき、中心を通る線分ＥＦは中心を通らない弦ＡＢを直角に切るので、それをまた２等分する。それゆえ、ＡＦはＦＢと等しい。それゆえ、ＡＢはＡＦの２倍である。命題Ⅲ．３
同様な理由で、ＣＤもＣＧの２倍である。しかし、ＡＢはＣＤと等しいので、ＡＦもＣＧと等しい。
また、ＡＥはＥＣと等しいので、ＡＥ上の正方形もＥＣ上の正方形と等しい。しかし、ＡＦ、ＥＦ上の正方形の和はＡＥ上の正方形と等しい。なぜなら、Ｆにおける角は直角である。そして、ＥＧ、ＧＣ上の正方形の和はＥＣ上の正方形と等しい。なぜなら、Ｇにおける角は直角である。それゆえ、ＡＦ、ＥＦ上の正方形の和はＥＧ、ＧＣ上の正方形の和と等しい。ＡＦはＣＧと等しいので、そのうちのＡＦ上の正方形はＣＧ上の正方形と等しい。それゆえ、残りのＦＥ上の正方形はＥＧ上の正方形と等しい。それゆえ、ＥＦはＥＧと等しい。命題Ⅰ．47
しかし、中心からそれらに下す垂線が等しいとき、円の弦は中心から等しい距離であるといわれる。それゆえ、ＡＢ、ＣＤは中心から等しい距離である。定義Ⅲ．４
つぎに、ＡＢ、ＣＤは中心から等しい距離であるとせよ、つまりＥＦはＥＧと等しいとせよ。
ＡＢはまたＣＤと等しいことをいう。
同じ作図をして、同様にしてＡＢはＡＦの２倍、ＣＤはＣＧの２倍であることを証明することができる。そして、ＡＥはＣＥと等しいので、ＡＥ上の正方形はＣＥ上の正方形と等しい。しかし、ＥＦ、ＦＡ上の正方形の和はＡＥ上の正方形と等しく、ＥＧ、ＧＣ上の正方形の和はＣＥ上の正方形と等しい。命題Ⅰ．47
それゆえ、ＥＦ、ＦＡ上の正方形の和はＥＧ、ＧＣ上の正方形の和と等しい。ＥＦはＥＧと等しいので、そのうちのＥＦ上の正方形はＥＧ上の正方形と等しい。それゆえ、残りのＡＦ上の正方形はＣＧ上の正方形と等しい。それゆえ、ＡＦはＣＧと等しい。そして、ＡＢはＡＦの２倍で、ＣＤはＣＧの２倍なので、ＡＢはＣＤと等しい。
それゆえ、円で等しい弦は中心から等しい距離であり、中心から等しい距離にある弦は互いに等しい。
証明終了