命題２
「２点が円の円周上に任意にとられるならば、２点を結ぶ線分は円の内部におちる。」
円をＡＢＣとし、その円周上に任意にとられる２点をＡ、Ｂとせよ。
ＡからＢを結ぶ線分は円の内部におちることをいう。
それがそうならないと仮定して、可能ならば、ＡＥＢのように外部におちるとせよ。円ＡＢＣの中心Ｄをとりなさい。ＤＡ、ＤＢを結び、ＤＦＥを延長しなさい。命題Ⅲ．１
そのとき、ＤＡはＤＢと等しいので、角ＤＡＥも角ＤＢＥと等しい。命題Ⅰ．５
そして、三角形ＤＡＥの１辺ＡＥＢがつくられるので、角ＤＥＢは角ＤＡＥより大きい。そして、角ＤＡＥは角ＤＢＥと等しいので、角ＤＥＢは角ＤＢＥより大きい。そして、大きい角に対する辺は大きいので、ＤＢはＤＥより大きい。しかし、ＤＢはＤＦと等しいので、ＤＦはＤＥより大きい。小さいほうは大きいほうより大きくなるが、不可能である。それゆえ、ＡからＢまで結ぶ線分は円の外部におちない。命題Ⅰ．16，命題Ⅰ．19
同様にして、それはそれ自身の円周上にもおちないことを証明することがある。それゆえ、それは内部におちる。
それゆえ、２点が円の円周上に任意にとられるならば、２点を結ぶ線分は円の内部におちる。
証明終了