命題３３
「与えられた線分上に与えられた直線角と等しい角を含む円の切片をかくこと」
与えられた線分をＡＢ、与えられた直線角をＣにおける角とせよ。
与えられた線分ＡＢ上にＣにおける角と等しい角を含む円の切片をかくことが要求されている。
そのとき、Ｃにおける角は鋭角か直角か鈍角である。
まず、最初の図のように鋭角とせよ。線分ＡＢ上にその上の点ＡにおいてＣにおける角と等しい角ＢＡＤを作図しなさい。それゆえ、角ＢＡＤも鋭角である。
ＤＡに直角なＡＥをひきなさい。ＦでＡＢを２等分しなさい。点ＦからＡＢに直角なＦＧをひき、ＧＢを結びなさい。
そのとき、ＡＦはＦＢと等しく、ＦＧは共通なので、２辺ＡＦ、ＦＧは２辺ＢＦ、ＦＧと等しく、角ＡＦＧは角ＢＦＧと等しいので、底辺ＡＧは底辺ＢＧと等しい。命題Ⅰ．４
それゆえ、中心Ｇ、半径ＧＡをもつ円はＢも通る。
ＡＢＥのようにそれをかき、ＥＢを結びなさい。
いま、ＡＤは直径ＡＥの端ＡからＡＥに直角にひかれるので、ＡＤは円ＡＢＥと接する。そのとき、直線ＡＤは円ＡＢＥと接し、線分ＡＢは接点Ａから円ＡＢＥにひかれているので、角ＤＡＢは円の反対側の切片内の角ＡＥＢと等しい。系Ⅲ．16，命題Ⅲ．32
しかし、角ＤＡＢはＣにおける角と等しいので、Ｃにおける角も角ＡＥＢと等しい。それゆえ、与えられた線分ＡＢ上に円の切片ＡＥＢは与えられた直線角、Ｃにおける角と等しい角ＡＥＢを含むようにかかれている。
つぎに、Ｃにおける角を直角とし、Ｃにおける直角と等しい角を含む円の切片をＡＢ上にかくことが要求されている。
２番目の図のように、Ｃにおける直角と等しい角ＢＡＤを作図しなさい。ＦでＡＢを２等分しなさい。中心をＦ、半径をＦＡ、ＦＢのどちらかをもつ円ＡＥＢをかきなさい。
Ａにおける角は直角なので、それゆえ、直線ＡＤは円ＡＢＥと接する。系Ⅲ．16
そして、角ＢＡＤは切片ＡＥＢ内の角と等しい。なぜなら、半円内の角であるのでそれも直角である。命題Ⅲ．31
しかし、角ＢＡＤもＣにおける角と等しいので、角ＡＥＢもＣにおける角と等しい。
それゆえ、また、円の切片ＡＥＢはＡＢ上にＣにおける角と等しい角を含むようにかかれている。
つぎに、Ｃにおける角を鈍角とせよ。
３番目の図のように線分ＡＢ上の点ＡにおいてＣと等しい角ＢＡＤを作図しなさい。ＡＤに直角なＡＥをひきなさい。また、ＦでＡＢを２等分しなさい。ＡＢに直角なＦＧをひき、ＧＢを結びなさい。
そのとき、また、ＡＦはＦＢと等しく、ＦＧは共通なので、２辺ＡＦ、ＦＧは２辺ＢＦ、ＦＧと等しく、角ＡＦＧは角ＢＦＧと等しいので、底辺ＡＧは底辺ＢＧと等しい。命題Ⅰ．４
それゆえ、中心Ｇ、半径ＧＡをもってかかれる円はＢも通る。それをＡＥＢのように通るとせよ。
いま、ＡＤはその両端から直径ＡＥに直角にかかれているので、ＡＤは円ＡＥＢと接する。系Ⅲ．16
そして、ＡＢは接点Ａからひかれているので、角ＢＡＤは円の反対側の切片ＡＨＢ内に作図される角と等しい。命題Ⅲ．32
しかし、角ＢＡＤはＣにおける角と等しい。
それゆえ、切片ＡＨＢ内の角もＣにおける角と等しい。
それゆえ、与えられた線分ＡＢ上で円の切片ＡＨＢはＣにおける角と等しい角を含むようにかかれている。
作業終了