命題３１
「円で半円内の角は直角で、半円より大きい切片内の角は直角より小さく、半円より小さい切片内の角は直角より大きく、さらに、半円より大きい切片の角は直角より大きく、半円より小さい切片の角は直角より小さい。」
円をＡＢＣＤとし、その直径をＢＣとし、その中心をＥとせよ。ＢＡ、ＡＣ、ＡＤ、ＤＣを結びなさい。
半円ＢＡＣ内の角ＢＡＣは直角で、半円より大きい切片ＡＢＣ内の角ＡＢＣは直角より小さく、半円より小さい切片ＡＤＣ内の角ＡＤＣは直角より大きいことをいう。
ＡＥを結び、ＢＡをＦまで延長しなさい。
そのとき、ＢＥはＥＡと等しいので、角ＡＢＥも角ＢＡＥと等しい。命題Ⅰ．５
また、ＣＥはＥＡと等しいので、角ＡＣＥも角ＣＡＥと等しい。それゆえ、角ＢＡＣ全体は２角ＡＢＣ、ＡＣＢの和と等しい。命題Ⅰ．５
しかし、三角形ＡＢＣの外角ＦＡＣも２角ＡＢＣ、ＡＣＢの和と等しい。それゆえ、角ＢＡＣも角ＦＡＣと等しい。それゆえ、おのおのは直角である。それゆえ、半円ＢＡＣ内の角ＢＡＣは直角である。命題Ⅰ．32，定義Ⅰ．10
つぎに、三角形ＡＢＣで２角ＡＢＣ、ＢＡＣの和は２直角より小さく、角ＢＡＣは直角なので、角ＡＢＣは直角より小さい。そして、それは半円より大きい切片ＡＢＣ内の角である。命題Ⅰ．17
つぎに、ＡＢＣＤは円に内接する四角形で、円に内接する四角形の対角の和は２直角と等しく、一方で角ＡＢＣは直角より小さいので、残りの角ＡＤＣは直角より大きい。そして、それは半円より小さい切片ＡＤＣ内の角である。命題Ⅲ．22
さらに、半円より大きい切片の角、すなわち弧ＡＢＣと弦ＡＣによって囲まれている角は直角より大きく、半円より小さい切片の角、すなわち弧ＡＤＣと弦ＡＣによって囲まれている角は直角より小さいことをいう。
これはすぐに明らかである。なぜなら、線分ＢＡ、ＡＣによって囲まれている角は直角で、弧ＡＢＣと弦ＡＣによって囲まれている角は直角より大きい。
また、線分ＡＣ、ＡＦによって囲まれている角は直角で、弦ＣＡと弧ＡＤＣによって囲まれている角は直角より小さい。
それゆえ、円で半円内の角は直角で、半円より大きい切片内の角は直角より小さく、半円より小さい切片内の角は直角より大きく、さらに、半円より大きい切片の角は直角より大きく、半円より小さい切片の角は直角より小さい。
証明終了