命題３５
「円で２つの弦が互いに交わるならば、一方の弦の２つの部分によって囲まれている長方形は他方の弦の２つの部分によって囲まれている長方形と等しい。」
円ＡＢＣＤで２つの弦ＡＣ、ＢＤが点Ｅで互いに交わるとせよ。
ＡＥ、ＥＣに囲まれている長方形はＤＥ、ＥＢに囲まれている長方形と等しいことをいう。
いま、ＡＣ、ＢＤは中心を通り、Ｅが円ＡＢＣＤの中心であるならば、ＡＥ、ＥＣ、ＤＥ、ＥＢは等しく、ＡＥ、ＥＣに囲まれている長方形もＤＥ、ＦＢに囲まれている長方形と等しい。
つぎに、ＡＣ、ＤＢは中心を通らないとせよ。中心Ｆをとり、ＡＢＣＤの中心とせよ。Ｆから弦ＡＣ、ＤＢに垂直なＦＧ、ＦＨをひきなさい。ＦＢ、ＦＣ、ＦＥを結びなさい。
そのとき、中心を通る線分ＧＦが中心を通らない弦ＡＣと直角に交わっていて、それをまた２等分するので、ＡＧはＧＣと等しい。命題Ⅲ．３
そのとき、弦ＡＣはＧで等しい部分、Ｅで不等な部分に切り取られたので、ＡＥ、ＥＣに囲まれている長方形とＥＧ上の正方形はＧＣ上の正方形と等しい。命題Ⅱ．５
ＧＦ上の正方形を加えなさい。それゆえ、ＡＥ、ＥＣに囲まれている長方形とＧＥ、ＧＦ上の正方形の和はＣＧ、ＧＦ上の正方形の和と等しい。
しかし、ＦＥ上の正方形はＥＧ、ＧＦ上の正方形の和と等しいので、ＦＣ上の正方形ＣＧ、ＧＦ上の正方形の和と等しい。それゆえ、ＡＥ、ＥＣに囲まれている長方形とＦＥ上の正方形の和はＦＣ上の正方形と等しい。命題Ⅰ．47
そして、ＦＣはＦＢと等しいので、ＡＥ、ＥＣに囲まれている長方形とＥＦ上の正方形の和はＦＢ上の正方形と等しい。
同様な理由で、ＤＥ、ＥＢに囲まれている長方形とＦＥ上の正方形の和もＦＢ上の正方形と等しい。
しかし、ＡＥ、ＥＣに囲まれている長方形とＦＥ上の正方形の和はＦＢ上の正方形と等しいことも証明されているので、ＡＥ、ＥＣに囲まれている長方形とＥＦ上の正方形の和はＤＥ、ＥＢに囲まれている長方形とＦＥ上の正方形の和と等しい。
おのおのからＦＥ上の正方形をひきなさい。それゆえ、残りのＡＥ、ＥＣに囲まれている長方形はＤＥ、ＥＢに囲まれている長方形と等しい。
それゆえ、円で２つの弦が互いに交わるならば、一方の弦の２つの部分によって囲まれている長方形は他方の弦の２つの部分によって囲まれている長方形と等しい。
証明終了