命題３６
「点が円の外部にとられ、それから２つの直線が円にひかれ、それらのうちの一方は円を切り、他方はそれと接するならば、円を切る線分全体と外部にその点と凸形の弧の間に切り取られた線分に囲まれている長方形は接線上の正方形と等しい。」
円ＡＢＣの外部に点Ｄをとり、Ｄから円ＡＢＣにひかれる２つの線分をＤＣＡ、ＤＢとせよ。ＤＣＡは円ＡＢＣを切り、ＢＤはそれと接するとせよ。
ＡＤ、ＤＣに囲まれている長方形はＤＢ上の正方形と等しいことをいう。
そのとき、ＤＣＡは中心を通るか中心を通らないかのどちらかである。
まず、中心を通るとし、円ＡＢＣの中心をＦとせよ。ＦＢを結びなさい。それゆえ、角ＦＢＤは直角である。命題Ⅲ．８
そして、ＡＣはＦで２等分され、ＣＤはそれに加えられるので、ＡＤ、ＤＣに囲まれている長方形とＦＣ上の正方形の和はＦＤ上の正方形と等しい。
しかし、ＦＣはＦＢと等しいので、ＡＤ、ＤＣに囲まれている長方形とＦＢ上の正方形はＦＤ上の正方形と等しい。
そして、ＦＢ、ＢＤ上の正方形の和はＦＤ上の正方形と等しいので、ＡＤ、ＤＣに囲まれている長方形とＦＢ上の正方形はＦＢ、ＢＤ上の正方形の和と等しい。命題Ⅰ．47
おのおのからＦＢ上の正方形をひきなさい。それゆえ、残りのＡＤ、ＤＣに囲まれている長方形は接線ＤＢ上の正方形と等しい。
また、ＤＣＡを円ＡＢＣの中心を通らないとせよ。中心Ｅをとり、ＥからＡＣに垂直なＥＦをひきなさい。ＥＢ、ＥＣ、ＥＤを結びなさい。
そのとき、角ＥＢＤは直角である。命題Ⅲ．18
そして、中心を通る線分ＥＦは中心を通らない弦ＡＣと直角に交わっていて、それはまた２等分するので、ＡＦはＦＣと等しい。命題Ⅲ．３
いま、弦ＡＣは点Ｆで２等分され、ＣＤはそれに加えられているので、ＡＤ、ＤＣに囲まれている長方形とＦＣ上の正方形の和はＦＤ上の正方形と等しい。命題Ⅱ．６
おのおのにＦＥ上の正方形を加えなさい。それゆえ、ＡＤ、ＤＣに囲まれている長方形とＣＦ、ＦＥ上の正方形の和はＦＤ、ＦＥ上の正方形と等しい。
しかし、ＥＣ上の正方形はＣＦ、ＦＥ上の正方形の和と等しい。なぜなら、ＥＦＣは直角である。そして、ＥＤ上の正方形はＤＦ、ＦＥ上の正方形の和と等しいので、ＡＤ、ＤＣに囲まれている長方形とＥＣ上の正方形の和はＥＤ上の正方形と等しい。命題Ⅰ．47
そして、ＥＣはＥＢと等しいので、ＡＤ、ＤＣに囲まれている長方形とＥＢ上の正方形の和はＥＤ上の正方形と等しい。
しかし、ＥＢ、ＢＤ上の正方形の和はＥＤ上の正方形と等しい。なぜなら、ＥＢＤは直角である。それゆえ、ＡＤ、ＤＣに囲まれている長方形とＥＢ上の正方形の和はＥＢ、ＢＤ上の正方形の和と等しい。命題Ⅰ．47
おのおのからＥＢ上の正方形をひきなさい。それゆえ、残りのＡＤ、ＤＣに囲まれている長方形はＤＢ上の正方形と等しい。
それゆえ、点が円の外部にとられ、それから２つの直線が円にひかれ、それらのうちの一方は円を切り、他方はそれと接するならば、円を切る線分全体と外部にその点と凸形の弧の間に切り取られた線分に囲まれている長方形は接線上の正方形と等しい。
証明終了