命題３７
「点が円の外部にとられ、その点から２つの直線が円にひかれ、それらのうちの一方は円を切り、他方はそれと接し、さらに円を切る線分全体と外部にその点と凸形の弧の間に切り取られた線分に囲まれている長方形が円周上におちる線分上の正方形と等しいならば、円周上におちる線分は円に接する。」
円ＡＢＣの外部に点Ｄをとり、Ｄから円ＡＢＣにひかれる２つの線分をＤＣＡ、ＤＢとせよ。ＤＣＡは円を切り、ＤＢは円周上におちるとし、ＡＤ、ＤＣに囲まれている長方形はＤＢ上の正方形と等しいとせよ。
ＤＢは円ＡＢＣと接することをいう。
ＡＢＣと接するようにＤＥをひきなさい。円ＡＢＣの中心Ｆをとり、ＦＥ、ＦＢ、ＦＤを結びなさい。
それゆえ、角ＦＥＤは直角である。命題Ⅲ．18
いま、ＤＥは円ＡＢＣと接し、ＤＣＡはそれを切るので、ＡＤ、ＤＣに囲まれている長方形はＤＥ上の正方形と等しい。命題Ⅲ．36
しかし、ＡＤ、ＤＣに囲まれている長方形はＤＢ上の正方形と等しいことも証明されていたので、ＤＥ上の正方形はＤＢ上の正方形と等しい。それゆえ、ＤＥはＤＢと等しい。
そして、ＦＥはＥＢと等しいので、２辺ＤＥ、ＥＦは２辺ＤＢ、ＢＦと等しく、ＦＤは三角形の共通底辺なので、角ＤＥＦは角ＤＢＦと等しい。命題Ⅰ．８
しかし、角ＤＥＦは直角なので、ＤＢＦも直角である。
そして、延長されたＦＢは直径で、円の直径にその端から直角にひかれた線分は円に接するので、ＤＢは円と接する。系Ⅲ．16
同様にして、たとえ中心がＡＣ上にあるとしてもこのことが証明することができる。それゆえ、点が円の外部にとられ、その点から２つの直線が円にひかれ、それらのうちの一方は円を切り、他方はそれと接し、さらに円を切る線分全体と外部にその点と凸形の弧の間に切り取られた線分に囲まれている長方形が円周上におちる線分上の正方形と等しいならば、円周上におちる線分は円に接する。
作業終了