命題１３
「与えられた等辺等角な五角形に円を内接すること」
与えられた等辺等角な五角形をＡＢＣＤＥとせよ。
五角形ＡＢＣＤＥに円を内接することが要求されている。
線分ＣＦ、ＤＦのそれぞれで角ＢＣＤ、ＣＤＥを２等分しなさい。線分ＣＦ、ＤＦが互いに交わっている点Ｆから線分ＦＢ、ＦＡ、ＦＥを結びなさい。
そのとき、ＢＣはＣＤと等しく、ＣＦは共通なので、２辺ＢＣ、ＣＦは２辺ＤＣ、ＣＦと等しく、角ＢＣＦは角ＤＣＦと等しいので、底辺ＢＦは底辺ＤＦと等しく、三角形ＢＣＦは三角形ＤＣＦと等しく、残りの角は残りの角と等しい、すなわち等しい辺に対する角は等しい。命題Ⅰ．４
それゆえ、角ＣＢＦは角ＣＤＦと等しい。
そして、角ＣＤＥは角ＣＤＦの２倍で、角ＣＤＥは角ＡＢＣと等しく、一方で、角ＣＤＦは角ＣＢＦと等しいので、角ＣＢＡも角ＣＢＦの２倍である。それゆえ、角ＡＢＦは角ＦＢＣと等しい。それゆえ、角ＡＢＣは線分ＢＦで２等分されている。
同様にして、角ＢＡＥ、ＡＥＤも線分ＦＡ、ＦＥのそれぞれで２等分されている。
いま、点Ｆから線分ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥ、ＥＡに垂直にＦＧ、ＦＨ、ＦＫ、ＦＬ、ＦＭをひきなさい。
そのとき、角ＨＣＦは角ＫＣＦと等しく、直角ＦＨＣも角ＦＫＣと等しいので、ＦＨＣ、ＦＫＣは２角が２角と等しく、１辺が１辺と等しい、すなわち等しい角に対する辺で共通であるＦＣが等しいことをもつ２つの三角形である。それゆえ、残りの辺は残りの辺と等しいことももつであろう。それゆえ、垂線ＦＨは垂線ＦＫと等しい。命題Ⅰ．26
同様にして、線分ＦＬ、ＦＭ、ＦＧのそれぞれも線分ＦＨ、ＦＫのそれぞれと等しいので、５線分ＦＧ、ＦＨ、ＦＫ、ＦＬ、ＦＭは互いに等しい。
それゆえ、中心をＦ、半径を線分ＦＧ、ＦＨ、ＦＫ、ＦＬ、ＦＭのうちの１つをもってかかれる円は残りの点も通り、Ｇ、Ｈ、Ｋ、Ｌ、Ｍにおける角は直角であるため、それは線分ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥ、ＥＡと接する。
円がそれらと接しなく、交わるならば、円の直径にその両端から直角にひかれた線分は円の内部におちることになるであろう。これは不合理であることが証明された。命題Ⅲ．16
それゆえ、中心をＦ、半径を線分ＦＧ、ＦＨ、ＦＫ、ＦＬ、ＦＭのうちの１つをもってかかれる円は線分ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＥ、ＥＡと交わらない。それゆえ、それはそれらと接する。
ＧＨＫＬＭのようにかかれたとせよ。
それゆえ、円は与えられた等辺等角な五角形に内接している。
作業終了