命題３
「与えられた円に与えられた三角形と等角な三角形を外接すること」
与えられた円をＡＢＣ、与えられた三角形をＤＥＦとせよ。
円ＡＢＣに三角形ＤＥＦと等角な三角形を外接することが要求されている。
ＥＦを点Ｇ、Ｈのどちらの方向にも延長しなさい。円ＡＢＣの中心Ｋをとり、任意に半径ＫＢを結びなさい。線分ＫＢ上にその上の点Ｋにおいて角ＤＦＧと等しい角ＢＫＡ、角ＤＦＨと等しい角ＢＫＣを作図しなさい。点Ａ、Ｂ、Ｃを通り円ＡＢＣと接するようにＬＡＭ、ＭＢＮ、ＮＣＬをひきなさい。命題Ⅲ．１，命題Ⅰ．23，系Ⅲ．16
いま、ＬＭ、ＭＮ、ＮＬは点Ａ、Ｂ、Ｃで円ＡＢＣと接し、ＫＣは中心Ｋから点Ａ、Ｂ、Ｃに結ばれているので、点Ａ、Ｂ、Ｃにおける角は直角である。命題Ⅲ．18
そして、ＡＭＢＫは２つの三角形に分けられるため、四辺形ＡＭＢＫの４つの角は４直角と等しく、角ＫＡＭ、ＫＢＭは直角なので、残りの角ＡＫＢ、ＡＭＢの和は２直角と等しい。
しかし、角ＤＥＧ、ＤＥＦの和も２直角と等しいので、角ＡＫＢ、ＡＭＢの和は角ＤＥＧ、ＤＥＦの和と等しく、そのうちの角ＡＫＢは角ＤＥＧと等しいので、残りの角ＡＭＢは残りの角ＤＥＦと等しい。命題Ⅰ．13
同様にして、角ＬＮＢも角ＤＦＥと等しいことを証明することができるので、残りの角ＭＬＮは角ＥＤＦと等しい。命題Ⅰ．32
それゆえ、三角形ＬＭＮは三角形ＤＥＦと等角で、円ＡＢＣに外接している。
それゆえ、与えられた三角形と等角な三角形が与えられた円に外接している。
作業終了