第7巻

第7巻

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第7巻の内容

 

定義(22)

命題(39)

 

定義

定義1 単位とは存在するそれぞれのものの価値で1と呼ばれるものである。

 

定義2 数とは単位の複数回から成り立つ多である。

 

定義3 小さい数が大きい数を割り切るとき、小さい数は大きい数の約数である。

 

定義4 小さい数が大きい数を割り切らないとき、約数たちである。

 

定義5 大きい数が小さい数によって割り切られるとき、大きい数は小さい数の倍数である。

 

定義6 偶数とは、2つの等しい部分に分けられることである。

 

定義7 奇数とは、2つの等しい部分に分けられないものか、または偶数から単位の違う数である。

 

定義8 偶数倍の偶数とは偶数によって割り切られて商が偶数になる数である。

 

定義9 偶数倍の奇数とは偶数によって割り切られて商が奇数になる数である。

 

定義10 奇数倍の奇数とは奇数によって割り切られて商が奇数になる数である。

 

定義11 素数とは単位だけによってのみ割り切られる数である。

 

定義12 互いに素である数は、公約数と同じ単位だけによって割り切られる数である。

 

定義13 合成数とはいくつかの数によって割り切られる数である。

 

定義14 互いに合成な数とは、公約数としてのある数によって割り切られる数である。

 

定義15 数に数を掛けるといわれるのは、一方の中にある単位と同じ回数だけ掛けられる数が加えられるときである。

 

定義16 2つの数が互いに掛け合わせてある数を作るとき、その積は平面数であり、その辺は互いにかけた数である。

 

定義17 3つの数が互いに掛け合わせてある数を作るとき、その積は立体数であり、その辺は互いにかけた数である。

 

定義18 平方数とは等しい数に等しい数を掛けたもの、すなわち2つの等しい数の積である。

 

定義19 立方数とは等しい数に等しい数を掛け、さらに等しい数を掛けたもの、または3つの等しい数の積である。

 

定義20 第1の数が第2の数の、第3の数が第4の数の同じ倍数であるか、同じ約数であるか、または同じ約数たちであるとき、それらの数は比例する。

 

定義21 相似な平面数および立体数とはそれらの辺と比例している数である。

 

定義22 完全数とは、自分自身の約数の和に等しい数である。

 

 

命題

命題1 2つの等しくない数が提示され、小さい数が絶えず大きい数から引かれるとき、単位が残されるまで、残された数がその前の数を割り切らないならば、最初の数は互いに素である。

 

命題2 互いに素でない与えられた2つの数の最大公約数を見つけること。

 

系 1つの数が2つの数を割り切るならば、それはまた、それらの最大公約数を割り切ること。

 

命題3 互いに素でない与えられた3つの数の最大公約数を見つけること。

 

命題4 小さいどのような数は大きいどのような数の約数か、約数たちである。

 

命題5 ある数がある数の約数であり、他の数が他の数の同じ約数であるならば、1つが1つの約数であると、和もまた和の同じ約数である。

 

命題6 ある数がある数の約数たちであり、他の数が他の数の同じ約数たちであるならば、1つが1つの約数たちであると、和もまた和の同じ約数たちである。

 

命題7 ある数がある数の約数であると、引かれた数が引かれた数の同じ約数であるならば、全体が全体の約数であると、余りもまた余りの同じ約数である。

 

命題8 ある数がある数の約数たちであると、引かれた数が引かれた数の同じ約数たちであるならば、全体が全体の約数たちであると、余りもまた余りの同じ約数たちである。

 

命題9 ある数がある数の約数であり、他の数が他の数の同じ約数であるならば、入れ替えて、第1の数が第3の数の約数、または約数たちであり、第2の数が第4の数の同じ約数、または約数たちである。

 

命題10 ある数がある数の約数たちであり、他の数が他の数の同じ約数たちであるならば、入れ替えて、第1の数が第3の数の約数、または約数たちであり、第2の数が第4の数の同じ約数、または約数たちである。

 

命題11 全体が全体に対すると同じように引かれた数が引かれた数に対するならば、余りは余りに対すると同じように全体は全体に対する。

 

命題12 任意の数が比例するならば、前項の1つは後項の1つに対し同じように前項の和は後項の和に対する。

 

命題13 4つの数が比例しているならば、それらは入れ替えても比例する。

 

命題14 任意の数と数の上において等しい個数の他の数があり、2つずつとられたものが同じ比であるならば、それらは等間隔比でまた同じ比である。

 

命題15 単位が任意の数を割り切り、他の数が任意の他の数を同じ回数で割り切るならば、入れ替えて、第2の数が第4の数を割り切るように単位は第3の数を同じ回数で割り切る。

 

命題16 2つの数を互いにかけてある数を作るならば、そのようにつくられた数は互いに等しい。

 

命題17 数を2つの数にかけてある数を作るならば、そのようにつくられた数はかけられた数と同じ比を持つ。

 

命題18 2つの数を任意のある数にかけてある数を作るならば、そのようにつくられた数は乗数と同じ比を持つ。

 

命題19 4つの数が比例するならば、第1の数と第4の数から作られた数は第2の数と第3の数から作られた数と等しい。第1の数と第4の数から作られた数は第2の数と第3の数から作られた数と等しいならば、4つの数は比例する。

 

命題20 同じ比を持つ数の最小の数は、同じ比を持つ数を割り切り、大きい数は大きい数を、小さい数は小さい数を同じ回数で割り切る。

 

命題21 互いに素である数はそれらと同じ比を持つ数の最小の数である。

 

命題22 同じ比を持つ数の最小の数は互いに素である。

 

命題23 2つの数が互いに素であるならば、それらの1つを割り切る任意の数は余りの数に対して互いに素である。

 

命題24 2つの数が任意の数に対して互いに素であるならば、それらの積も同じ数に対して互いに素である。

 

命題25 2つの数が互いに素であるならば、それらの1つとそれ自身の積は余りの数に対して素である。

 

命題26 2つの数がそれぞれ2つの数に対して互いに素であるならば、それらの積も互いに素である。

 

命題27 2つの数が互いに素であり、それぞれをそれぞれ自身にかけてある数を作るならば、これらの積は互いに素である。もとの数がこれらの積をかけて数を作るならば、後者も互いに素である。

 

命題28 2つの数が互いに素であるならば、それらの和もまたそれぞれに対し素であり、2つの数の和がそれらのどちらかと互いに素であるならば、もとの数もまた互いに素である。

 

命題29 任意の素数はそれが割り切らない任意の素数に対して互いに素である。

 

命題30 2つの数が互いをかけてある数を作り、任意の素数がその積を割り切るならば、その数はまたもとの数の1つを割り切る。

 

命題31 任意の合成数はある素数によって割り切られる。

 

命題32 任意の数は素であるかまたは素数によって割り切られるのどちらかである。

 

命題33 多くの数が与えられたとき、それらと同じ比を持つ数の最小の数を見つけること。

 

命題34 2つの与えられた数が割り切る最小の数を見つけること。

 

命題35 2つの数が任意の数を割り切るならば、それらによって割り切られる最小数もまた同じ数を割り切る。

 

命題36 与えられた3つの数が割り切る最小の数を見つけること。

 

命題37 ある数が任意の数によって割り切られるならば、割り切られる数は割り切る数と同じ名で呼ばれる約数を持つ。

 

命題38 ある数が任意の約数を持つならば、これは約数と同じ名で呼ばれる数によって割り切られる。

 

命題39 与えられた約数を持つ最小の数を見つけること。

 


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